Kähler結構

在複流形 上的 Kähler 結構結合了底層實流形上的黎曼度量與復結構。這種結構將幾何學和複分析結合在一起，主要的例子來自代數幾何。當 具有 復維度時，它具有 實維度。Kähler 結構與酉群 相關，酉群 嵌入為保留近復結構（乘以 '’）的正交矩陣。在座標圖中， 的復結構定義了乘以 ，而度量定義了切向量的正交性。在 Kähler 流形上，這兩個概念（及其導數）是相關的。

以下是 Kähler 結構的要素，每個條件都足以使 Kähler 結構存在。

1. Kähler 度量。在任何點 附近，存在全純座標 使得度量具有以下形式

(1)

其中 表示向量空間張量積；也就是說，它在 處消失到二階。因此，任何僅涉及一階導數的 中的幾何方程都可以在 Kähler 流形上定義。請注意，可以使用高斯座標系編寫一個通用度量以使其消失到二階，但不一定在全純座標中消失。

2. Kähler 形式 是實閉非退化的二形式，即辛形式，對於它， 對於非零切向量 。此外，它還必須滿足 ，其中 是由乘以 引起的近復結構。也就是說，

(2)

和

(3)

區域性地，Kähler 形式可以寫成 ，其中 是一個稱為Kähler 勢的函式。Kähler 形式是實-復形式。

3. 埃爾米特度量 ，其中實部是Kähler 度量，如上面第 (1) 項所述，並且其中虛部是Kähler 形式，如第 (2) 項所述。

4. 度量，對於該度量，近復結構 是平行的。由於平行移動始終是等距同構，因此埃爾米特度量由從基點的路徑平行移動明確定義。完整群包含在酉群中。

很容易看出，Kähler 流形的復子流形繼承了其 Kähler 結構，因此也必須是 Kähler 的。主要例子來源是射影代數簇，即復射影空間的復子流形，它們是代數方程的解。

Kähler 條件有幾個深刻的推論。例如，Kähler 恆等式、上同調的Hodge 分解和Lefschetz 定理依賴於緊流形的 Kähler 條件。