平行移動

流形 上的平行移動的概念精確地表達了沿著可微曲線 平移向量場 的思想，以獲得一個新的向量場 ，該向量場與 平行。更精確地說，設 為具有仿射聯絡向量叢聯絡 的光滑流形，設 為從區間 到 的可微曲線，並設 為在 處與 相切的向量，對於某些 。向量場 被稱為沿著 的 的平行移動，如果 ，，則 是一個向量場，對於該向量場 。

請注意，上述定義中使用限定詞“平行”指的是沿著曲線 的向量場 的平行移動 必然是協變常數，即 滿足

(1)

對於所有 ，其中， 表示與 相關的 的唯一協變導數。

微分幾何中的一個標準結果是，在上述假設下，平行移動是唯一的。

除了上述定義之外，一些文獻以更函式分析的方式定義平行移動。實際上，給定一個區間 和一個點 ，沿著 的 的平行移動 無非是一個線性變換

(2)

將 對映到 。顯然，這種變換是可逆的，其逆變換簡單地由沿著 的反向部分從 到 的平行移動給出。表示式 也具有額外的益處，因為儘管它是根據 上的仿射聯絡 內在地定義的，但它也提供了一種機制，透過該機制，人們可以根據曲線 上的一組平行向量場 恢復流形的仿射聯絡。特別地，如果 並且 ，則

(3)

其中 是由聯絡 給出的所需向量場，並且其中 。