完整群

在一個 黎曼流形 上，切向量可以沿著路徑透過 平行移動 來移動，這保留了 向量加法 和 標量乘法。因此，在基點 的閉環，產生 可逆線性對映 ，即 的切向量。可以將閉環一個接一個地組合，也可以透過向後追溯來反轉它們。因此，由沿著閉環的 平行移動 產生的線性變換集合是一個 群，稱為完整群。

由於 平行移動 保留了 黎曼度量，完整群包含在 正交群 中。此外，如果流形是 可定向的，那麼它包含在 特殊正交群 中。可定向流形上的一般 黎曼度量 具有完整群 ，但對於某些特殊的度量，它可以是一個子群，在這種情況下，流形被稱為具有特殊完整群。

凱勒流形 是一個 維 流形，其完整群位於 酉群 中。 卡拉比-丘流形 是一個 單連通 維流形，其完整群位於 特殊酉群 中。一個 維流形，其完整群 ，即 四元數酉群，被稱為 超凱勒流形，而一個完整群為 的流形被稱為 四元數凱勒流形。度量相容的 列維-奇維塔聯絡 的完整群可能出現的群由 Berger 分類。非乘積、非對稱 流形 的其他可能性是 李群 和 。（請注意，雖然 Berger (1955) 列出了 作為黎曼非對稱完整群的可能性，但 Gray 和 Brown (1972) 排除了這種可能性。）

在 平坦流形 上，兩個同倫環給出相同的線性變換。因此，完整群是 的 基本群 的 群表示。但總的來說， 的 曲率 改變了同倫環之間的 平行移動。事實上，有一個公式表示差異為曲率的積分。