超凱勒流形

超凱勒流形可以定義為維度為 的黎曼流形，具有三個協變常數的正交自同構 、 、 ，作用於切叢，並滿足四元數恆等式

(1)

其中 表示切叢上的恆等自同構 的負數。術語超凱勒有時不帶連字元（寫作hyperKähler）或不帶大寫字母（寫作hyperkähler）。

這個定義等價於文獻中常見的其他幾個定義；實際上，流形 被稱為超凱勒流形當且僅當

1. 是一個全純辛Kähler流形，其完整群在 中。

2. 是一個全純辛Kähler流形，它是 Ricci 平坦的（即，其標量曲率為零）。

上述等價性的第一個是指伯傑對黎曼流形的完整群的分類，並暗示平行移動保留了 、 和 。這個標準和上述等價性的第二個標準都用於區分超凱勒流形和名稱相似的四元數-Kähler 流形，後者具有非零 Ricci 曲率，並且通常不是 Kähler 流形。

超凱勒流形必然是 Calabi-丘流形，並且是常數為 0 的 愛因斯坦流形。

通常，自同構 被假定為可積的。這三個復結構誘匯出三個 Kähler 2-形式 ，，在 上，即

(2)

(3)

和

(4)

對於所有 ，其中，這裡， 是 上的Kähler/黎曼度量。正如上面兩個等價的定義所表明的那樣，超凱勒流形是全純辛的，即它們具有由 、 和 中的每一個誘導的三個全純辛 2-形式。例如，形式為

(5)

的 2-形式 在 上是全純且辛的（其中 表示標準的虛數單位）。Calabi 證明了一個部分逆定理，該定理指出，緊緻的全純辛 Kähler 流形對於其任何 Kähler 形式都承認唯一的超凱勒度量。

所有偶數維復向量空間和環面都是超凱勒流形。更多示例包括四元數 、 維復射影空間的餘切叢、K3 曲面、緊緻超凱勒 4-流形上點的 Hilbert 概型 和廣義 Kummer 簇，以及各種模空間、Nahm 方程解的空間和 Nakajima 箭圖簇。