切叢

每個光滑流形 都有一個切叢 ，它由所有點 在 處的切空間 組成。 由於切空間 是 在 處所有切向量的集合，因此切叢是所有切向量的集合，以及它們所切於的點的資訊的集合。

(1)

切叢是向量叢的一個特例。 作為一個叢，它的叢的秩為 ，其中 是 的維數。 上的座標圖為 提供了一個平凡化。 在座標 ) 中，向量場 ，其中 ，張成每個點（在座標圖中）的切向量。 從這些座標到另一組座標的過渡函式由座標變化的雅可比矩陣給出。

例如，在單位球面上，在點 處，在同一個半球上定義了兩個不同的座標圖， 和 ,

(2)

(3)

其中 和 。 座標圖之間的對映是 。

(4)

雅可比矩陣 由矩陣值函式給出

(5)

它具有行列式 ，因此在 上是可逆的。

切向量透過雅可比矩陣變換。 在 中的點 處，切向量 對應於 中 的切向量 。 這兩個只是切叢的同一個元素的不同版本。