凱勒形式

在複流形 上的一個閉二形式 ，它也是埃爾米特度量 的負虛部，被稱為凱勒形式。在這種情況下， 被稱為凱勒流形，而 ，埃爾米特度量的實部，被稱為凱勒度量。凱勒形式結合了度量和復結構，實際上

(1)

其中 是由乘以 引起的近復結構。由於凱勒形式來自埃爾米特度量，因此它被 保留，即，因為 。 方程意味著度量和復結構是相關的。它賦予 一個凱勒結構，並有許多推論。

在 上，凱勒形式可以寫成

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其中 。一般來說，凱勒形式可以用座標表示為

(4)

其中 是一個埃爾米特度量，其實部是凱勒度量。區域性地，凱勒形式可以寫成 ，其中 是一個稱為凱勒勢的函式。凱勒形式是一個實 -復形式。

由於凱勒形式 是閉的，它表示德·拉姆上同調中的一個上同調類。在緊緻流形上，它不能是恰當的，因為 是由度量確定的體積形式。在射影代數簇的特殊情況下，凱勒形式表示一個積分上同調類。也就是說，它在任何一維子流形（即代數曲線）上積分得到一個整數。小平嵌入定理指出，如果凱勒形式在緊緻流形上表示一個積分上同調類，那麼它必須是一個射影代數簇。存在不是射影代數的凱勒形式，但任何凱勒流形是否可以形變為射影代數簇（在緊緻情況下）仍然是一個未解決的問題。

凱勒形式滿足 Wirtinger 不等式，

(5)

其中右側是由切向量 和 形成的平行四邊形的體積。相應的 不等式 對 的外冪成立。等式成立當且僅當 和 形成一個復子空間。因此， 是一個校準形式，並且凱勒流形的復子流形是校準的子流形。特別地，復子流形在凱勒流形中是區域性體積最小化的。例如，全純函式的圖是 中區域性面積最小化的曲面。