校準形式

黎曼流形上的校準形式 黎曼流形 是一個 微分 p-形式 滿足以下條件

1. 是一個 閉形式。

2. Phi 的共範數 ,

(1)

定義為 在一個 向量上的最大值，該 -向量的 -體積為 1，共範數值等於 1。

當 -維子流形被校準時， 限制在該子流形上給出體積形式。

不難看出，一個校準的子流形 在其 同調類 中的所有物件中，體積最小。根據 斯托克斯定理，如果 代表相同的同調類，則

(2)

由於

(3)

且

(4)

因此， 的體積小於或等於 的體積。

一個簡單的例子是平面上的 ，對於它，直線 是校準的子流形。事實上，在這個例子中，校準的子流形給出了一個葉狀結構。在 Kähler 流形上，Kähler 形式 是一個校準形式，它是不可分解的。例如，在

(5)

Kähler 形式是

(6)

在 Kähler 流形上，校準的子流形恰好是復子流形。因此，復子流形是區域性體積最小化的。