Kähler 恆等式

是在 Kähler 流形上成立的恆等式的集合，也稱為 Hodge 恆等式。令 為 Kähler 形式， 為 外微分，其中 是 del bar 運算元， 為兩個微分運算元的交換子， 表示 的形式伴隨。以下運算元也作用於 微分形式 在 Kähler 流形上

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其中 是近復結構，，並且 表示內積。那麼

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此外，

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這些恆等式有許多含義。例如，以下兩個運算元

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和

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（之所以稱為拉普拉斯運算元是因為它們是橢圓運算元）滿足 。此時，假設 也是一個 緊流形。結合 Hodge 定理，拉普拉斯運算元的這個等式證明了 Hodge 分解。運算元 和 與這些拉普拉斯運算元交換。根據 Hodge 定理，它們作用於上同調，上同調由 調和形式 表示。此外，定義

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其中 是到 -Dolbeault 上同調的投影，它們滿足

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換句話說，這些運算元在緊 Kähler 流形的覆上同調上提供了 特殊線性李代數 的群表示。實際上，這就是 hard Lefschetz 定理的內容。