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交換子

設 A^~, B^~, ... 為算符。則 A^~ 和 B^~ 的交換子定義為

[A^~,B^~]=A^~B^~-B^~A^~.
(1)

設 a, b, ... 為常數，則恆等式包括

[f(x),x]=0
(2)
[A^~,A^~]=0
(3)
[A^~,B^~]=-[B^~,A^~]
(4)
[A^~,B^~C^~]=[A^~,B^~]C^~+B^~[A^~,C^~]
(5)
[A^~B^~,C^~]=[A^~,C^~]B^~+A^~[B^~,C^~]
(6)
[a+A^~,b+B^~]=[A^~,B^~]
(7)
[A^~+B^~,C^~+D^~]=[A^~,C^~]+[A^~,D^~]+[B^~,C^~]+[B^~,D^~].
(8)

設 A 和 B 為張量。則

[A,B]=del _AB-del _BA.
(9)

在群論中存在一個相關的交換子概念。兩個群元素 A 和 B 的交換子是 ABA^(-1)B^(-1)，當它們的交換子是單位元時，稱兩個元素 A 和 B 可交換。當群是李群時，其李代數中的李括號是群交換子的無窮小版本。例如，設 A 和 B 為方陣，並設 alpha(s) 和 beta(t) 為李群中非奇異矩陣的路徑，它們滿足

alpha(0)=beta(0)=I
(10)
(partialalpha)/(partials)|_(s=0)=A
(11)
(partialbeta)/(partials)|_(s=0)=B,
(12)

則

partial/(partials)partial/(partialt)alpha(s)beta(t)alpha^(-1)(s)beta^(-1)(t)|_((s=0,t=0))=2[A,B].
(13)

參見

伴隨表示, 反對易子, 換位子群, 雅可比恆等式

此條目部分由 Todd Rowland 貢獻

使用 探索

請引用本文為

Rowland, Todd 和 Weisstein, Eric W. "交換子。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Commutator.html

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