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伴隨表示

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一個 李代數 是一個 向量空間 g 帶有 李括號 [X,Y]，滿足 雅可比恆等式。因此，任何元素 X 都定義了一個線性變換，稱為

ad(X)(Y)=[X,Y],
(1)

這被稱為 g 的伴隨表示。它是一個 李代數表示，由於 雅可比恆等式，

[ad(X_1),ad(X_2)](Y)=[X_1,[X_2,Y]]-[X_2,[X_1,Y]]
(2)
=[[X_1,X_2],Y]
(3)
=ad([X_1,X_2])(Y).
(4)

一個 李代數表示 可以用矩陣表示。最簡單的 李代數 是 gl_n，即矩陣的集合。考慮 gl_2 的伴隨表示，它有四維，因此將是一個四維表示。以下矩陣

e_1=[1 0; 0 0]
(5)
e_2=[0 1; 0 0]
(6)
e_3=[0 0; 1 0]
(7)
e_4=[0 0; 0 1]
(8)

構成了 gl_2 的一個基。基於這個基，伴隨表示可以用以下矩陣來描述

ad(e_1)=[ 0 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 0]
(9)
ad(e_2)=[ 0 0 1 0; -1 0 0 1; 0 0 0 0; 0 0 -1 0]
(10)
ad(e_3)=[ 0 -1 0 0; 0 0 0 0; 1 0 0 -1; 0 1 0 0]
(11)
ad(e_4)=[ 0 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 0].
(12)

另請參閱

交換子, 群表示, 李代數, 李群, 李括號, 冪零李代數, 半單李代數

此條目由 Todd Rowland 貢獻

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參考文獻

Fulton, W. 和 Harris, J. 表示論 紐約: Springer-Verlag, 1991.Jacobson, N. 李代數 紐約: Dover, 1979.Knapp, A. 李群：超越導論 波士頓，馬薩諸塞州: Birkhäuser, 1996.

中引用

伴隨表示

請引用為

Rowland, Todd. "伴隨表示。" 來自 ——Wolfram 網路資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/AdjointRepresentation.html

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