德拉姆上同調

德拉姆上同調是針對解析問題的形式化設定：如果你有一個微分k形式 在一個流形 上，它是否是另一個微分k形式 的外微分？形式上，如果 那麼 。這更常被表述為 ，意思是如果 要成為微分k形式的外微分，那麼 必須滿足的必要條件是它的外微分為零。

德拉姆上同調提供了一種形式化方法，旨在回答這個問題：“流形上外微分為零的所有微分形式是否都是 (k-1) 形式的外微分？” 特別是，第 階德拉姆上同調向量空間被定義為外微分為 0 的所有 形式的空間，模 (k-1) 形式的所有邊界的空間。當且僅當對我們問題的答案為“是”時，這是平凡向量空間 當且僅當。

關於德拉姆上同調的基本結果是，它是流形的拓撲不變數，即：流形 的第 階德拉姆上同調向量空間與 Alexander-Spanier 上同調向量空間 （也稱為緊支上同調）規範同構。在 是緊緻的情況下，Alexander-Spanier 上同調恰好是奇異上同調。