卡拉比-丘空間

卡拉比-丘空間在弦理論中非常重要，其中一個模型假設宇宙的幾何結構由一個十維空間組成，形式為 ，其中 是一個四維流形（時空），而 是一個六維緊緻卡拉比-丘空間。它們與庫默爾曲面有關。儘管卡拉比-丘空間的主要應用是在理論物理學中，但它們從純粹的數學角度來看也很有趣。因此，它們根據上下文的不同，有略微不同的名稱，例如卡拉比-丘流形或卡拉比-丘簇。

儘管可以將定義推廣到任何維度，但通常認為它們具有三個復維度。由於它們的復結構可能會發生變化，因此將它們視為具有六個實維度和一個固定的光滑結構是很方便的。

卡拉比-丘空間的特徵在於存在一個非零調和旋量 。這個條件意味著它的典範叢是平凡的。

考慮使用座標的區域性情況。在 中，選擇座標 和 使得

(1)

賦予它 的結構。然後

(2)

是典範叢的區域性截面。座標的酉變換 ，其中 是一個酉矩陣，將 變換為 ，即，

(3)

如果線性變換 的行列式為 1，也就是說，它是一個特殊酉變換，那麼 被一致地定義為 或 。

在卡拉比-丘流形 上，這樣的 可以全域性定義，並且李群 在理論中非常重要。事實上，來自黎曼幾何的眾多等價定義之一是，卡拉比-丘流形是一個 維流形，其完整群約化為 。另一個定義是它是一個校準流形，具有一個校準形式 ，它在代數上與實部相同

(4)

通常，會額外假設 是單連通的和/或緊緻的。

無論使用何種定義，卡拉比-丘流形以及它們的模空間都具有有趣的性質。其中之一是形成緊緻卡拉比-丘流形的霍奇菱形的數字中的對稱性。令人驚訝的是，這些稱為映象對稱性的對稱性可以透過另一個卡拉比-丘流形來實現，即所謂的原始卡拉比-丘流形的映象。這兩個流形共同構成一個映象對。映象對幾何結構的一些對稱性一直是近期研究的物件。