調和函式

任何 實函式 具有連續二階 偏導數 且滿足 拉普拉斯方程 的，

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被稱為調和函式。在物理學和工程學中，調和函式被稱為 勢函式。勢函式非常有用，例如在電磁學中，它們將對 3 分量 向量場 的研究簡化為對 1 分量 標量函式 的研究。標量調和函式被稱為 標量勢，而向量調和函式被稱為 向量勢。

為了在 平面 中找到一類這樣的函式，請用 極座標 寫出 拉普拉斯方程

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並僅考慮徑向解

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這是可透過積分求解的，因此定義 ,

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所以解是

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忽略平凡的加法和乘法常數，一般純徑向解變為

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其他解可以透過微分獲得，例如

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和

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包含方位角依賴性的調和函式包括

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泊松核

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是另一個調和函式。