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狄利克雷問題

尋找區域邊界 partialR 上的連續函式 f 與定義在區域 R 上且在 partialR 上取值 f 的調和函式之間聯絡的問題。一般來說，該問題詢問這樣的解是否存在，如果存在，是否是唯一的。狄利克雷問題在數學物理中極其重要 (Courant and Hilbert 1989, pp. 179-180 and 240; Logan 1997; Krantz 1999b)。

如果 f 是開單位圓盤 partialD(0,1) 邊界上的連續函式，則定義

u(z)={1/(2pi)int_0^(2pi)f(e^(ipsi))(1-|z|^2)/(|z-e^(ipsi)|^2)dpsi if z in D(0,1); f(z) if z in partialD(0,1),
(1)

其中 partialD(0,1) 是 D(0,1) 的邊界。那麼 u 在閉單位圓盤 D^_(0,1) 上連續，且在 D(0,1) 上調和 (Krantz 1999a, p. 93)。

對於沒有極點的有理邊界資料的情況，狄利克雷問題的解也是有理的 (Ebenfelt and Viscardi 2005)，該證明使得 Viscardi 贏得了 2005-2006 年西門子-西屋比賽 (Siemens Foundation 2005; Mathematical Association of America 2006)。

另請參閱

泊松積分, 泊松核

使用 探索

參考文獻

Courant, R. and Hilbert, D. 數學物理方法，第 1 卷. New York: Wiley, pp. 179-180 and 240, 1989.Ebenfelt, P. and Viscardi, M. "On the Solution of the Dirichlet Problem with Rational Holomorphic Boundary Data." Comput. Meth. Func. Th. 5, 445-457, 2005. http://www.heldermann.de/CMF/CMF05/CMF052/cmf05027.htm.Krantz, S. G. "狄利克雷問題" 和 "共形對映在狄利克雷問題中的應用." §7.3.3, 7.7.1, and 14.2 in 復變數手冊. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 93, 97-98, and 164-168, 1999a.Krantz, S. G. 調和分析全景. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1999b.Logan, J. D. 應用數學，第 2 版. New York: Wiley, 1997.Mathematical Association of America. "數學學生贏得西門子-西屋比賽." Jan. 9, 2006. http://www.maa.org/news/010906westinghouse.html.Siemens Foundation. "2005 年西門子競賽全國賽." http://www.siemens-foundation.org/competition/2005/2005Nationals.htm#Michael.

在 中引用

狄利克雷問題

請引用為

Weisstein, Eric W. "狄利克雷問題。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/DirichletProblem.html

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