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泊松積分

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至少有兩種積分被稱為泊松積分。第一種也稱為貝塞爾第二積分，

J_n(z)=((1/2z)^n)/(Gamma(n+1/2)Gamma(1/2))int_0^picos(zcostheta)sin^(2n)thetadtheta,
(1)

其中 J_n(z) 是第一類貝塞爾函式，Gamma(x) 是伽馬函式。它可以從索寧積分匯出。當 n=0 時，該積分變為帕塞瓦爾積分。

在複分析中，設 u:U->R 是調和函式 在 鄰域 的 閉圓盤 D^_(0,1) 上，那麼對於 開圓盤 D(0,1) 中的任何點 z_0，

u(z_0)=1/(2pi)int_0^(2pi)u(e^(ipsi))(1-|z_0|^2)/(|z_0-e^(ipsi)|^2)dpsi.
(2)

在 極座標 中，在 D^_(0,R) 上，

u(z_0)=1/(2pi)int_0^(2pi)K(r,theta)phi(z_0+re^(itheta))dtheta,
(3)

其中 R=|z_0|，而 K(r,theta) 是泊松核。對於圓，

u(x,y)=1/(2pi)int_0^(2pi)u(acosphi,asinphi)(a^2-R^2)/(a^2+R^2-2aRcos(theta-phi))dphi.
(4)

對於球體，

u(x,y,z)=1/(4pia)intint_(S)u(a^2-R^2)/((a^2+R^2-2aRcostheta)^(3/2))dS,
(5)

其中

costheta=x·xi.
(6)

另請參閱

第一類貝塞爾函式, 圓, 調和函式, 帕塞瓦爾積分, 泊松核, 索寧積分, 球體

使用 探索

參考文獻

Krantz, S. G. "The Poisson Integral." §7.3.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 92-93, 1999.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 373-374, 1953.

在 中被引用

泊松積分

請引用為

Weisstein, Eric W. "Poisson Integral." 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/PoissonIntegral.html

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