施瓦茨反射原理

假設 是一個 解析函式，它定義在 上半圓盤 中。進一步假設 擴充套件到 實軸 上的連續函式，並在 實軸 上取實數值。那麼 可以透過以下公式擴充套件到整個圓盤上的 解析函式

並且對於 反射過 實軸 的值是 反射過 實軸 的反射。很容易檢查上述函式在 下半圓盤 的內部是 復可微 的。值得注意的是，即使沒有可微性的假設，結果函式也必須沿 實軸 解析。

這被稱為施瓦茨反射原理，有時也稱為施瓦茨對稱原理（Needham 2000，p. 257）。上面的圖表顯示了應用於為 上半圓盤 定義的函式 （左圖；紅色）及其影像（右圖；紅色）的反射原理。該函式在實軸上是實值的，因此可以將該函式擴充套件到反射域（左圖和右圖；粉色）。

為了使反射函式連續，邊界上的值必須是連續的，並且落在被反射的線上。反射原理也適用於沿任何直線（而不僅僅是 實軸）反射的普遍性，在這種情況下，函式 必須在範圍內沿直線取值。實際上，任何具有與直線雙全純鄰域的弧都可以跨越反射。基本示例是 單位圓 的邊界，它透過 對映到 實軸。

反射原理也可以用於反射 調和函式，該函式在其邊界上連續擴充套件到零函式。在這種情況下，對於負 ，定義

將 擴充套件到反射域上的調和函式。再次注意， 是必要的。這個結果提供了一種將調和函式從給定的 開集 擴充套件到更大的 開集 的方法（Krantz 1999，p. 95）。