四元數 Kähler 流形

四元數 Kähler 流形是黎曼流形，其維度為 , ，其完整群在共軛意義下是以下群的子群

但不是 的子群。這些流形有時被稱為四元數 Kähler 流形，有時也用連字元寫成 quaternion-Kähler、quaternionic-Kähler 等。

儘管名稱如此，四元數 Kähler 流形不必是 Kähler 流形，因為所有 Kähler 流形的完整群都是 的子群，而 。根據文獻，這樣的流形有時被假定為連通和/或可定向的。在上述定義中，對於 的情況通常被排除，因為 ，根據 Berger 對完整群的分類，這僅意味著流形是黎曼流形。上述分類可以擴充套件到 的情況，透過要求流形既是愛因斯坦流形又是自對偶的。

一些作者排除了最後一個標準，從而將流形分類為四元數 Kähler 流形，前提是它們是黎曼流形且完整群是 的子群。在這個限制較少的定義下，超 Kähler 流形——完整群是 的子群的流形——將被視為四元數 Kähler 流形，儘管文獻中區分四元數 Kähler 流形和超 Kähler 流形的情況並不少見。為了代替最後一個標準，一些作者轉而施加流形具有非零標量曲率的條件，由此再次排除了超 Kähler 流形（因此是 Ricci-平坦的）。

Berger 表明，對於 ，四元數 Kähler 流形必然是愛因斯坦流形。

由於四元數 Kähler 流形的定義排除了具有零標量曲率的可能性，因此自然要分別研究具有正標量曲率和負標量曲率的四元數 Kähler 流形的情況（分別稱為正四元數 Kähler 流形和負四元數 Kähler 流形）。LeBrun 的工作表明，這兩種情況存在許多顯著差異，雖然在理解正四元數 Kähler 流形方面已經取得了許多進展，但對於其負標量曲率對應物，似乎知之甚少。

目前還沒有已知的緊緻四元數 Kähler 流形的例子，它們既非區域性對稱也非超 Kähler 流形。此外，LeBrun 等人推測，所有正四元數 Kähler 流形都是對稱的，並且在維度 4 和 8 上得到了證實。區域性對稱的四元數 Kähler 流形被稱為 Wolf 空間。