維度

物體的維度是其覆蓋性質大小的拓撲度量。粗略地說，它是指定物體上一點所需的座標數。例如，矩形是二維的，而立方體是三維的。物體的維度有時也稱為其“維數”。

字首“超-”通常用於指代四維（和更高維）類比於三維物體的概念，例如，超立方體，超平面。

維度的概念在數學中很重要，因為它給出了任何幾何物體的概念或視覺複雜性的精確引數化。事實上，這個概念甚至可以應用於無法直接視覺化的抽象物體。例如，時間的概念可以被認為是一維的，因為它可能被認為僅由“現在”、“之前”和“之後”組成。由於“之前”和“之後”，無論它們回溯到多久以前或延伸到多久以後的未來，都是延伸，時間就像一條線，一個一維物體。

要了解較低和較高維度如何相互關聯，取任何幾何物體（如點、線、圓、平面等），並朝相反方向“拖動”它（拖動點以追蹤出線，拖動線以追蹤出盒子，拖動圓以追蹤出圓柱體，拖動圓盤以追蹤出實心圓柱體等）。結果是物體在質量上比之前的物體“更大”，“質量”是指，無論你如何拖動原始物體，你總是追蹤出相同“質量大小”的物體。點可以變成直線線、圓、螺旋線或某些其他曲線，但所有這些物體在質量上都具有相同的維度。維度的概念是為了衡量這種“質量”拓撲屬性而發明的。

物體的有限集合（例如，空間中的點）被認為是 0 維的。然後，零維物體的“拖動”版本被稱為一維物體。類似地，拖動一維物體的物體是二維的，依此類推。維度在數學中被形式化為拓撲空間的內在維度。此維度稱為勒貝格覆蓋維度（也簡稱為拓撲維度）。典型的例子是歐幾里得 -空間 ，其拓撲維度為 。導致此結果的基本思想（包括維度不變性定理、區域不變性定理和勒貝格覆蓋維度）是由龐加萊、布勞威爾、勒貝格、烏雷松和門格爾提出的。

拓撲維度的概念有幾個分支和擴充套件。在勒貝格覆蓋維度的概念中隱含著，維度在某種意義上是衡量物體填充空間程度的指標。如果它佔據了很大的空間，則它是更高維度的，如果它佔據的空間較小，則它是較低維度的。豪斯多夫維度（也稱為分形維度）是對這個定義的微調，它允許維度不是整數的物體的概念。分形是豪斯多夫維度與其拓撲維度不同的物體。

維度的概念也用於代數學中，主要用作域上向量空間的維度。這種用法源於實數上的向量空間是最早被研究的向量空間，對於它們，它們的拓撲維度可以透過純代數方法計算為最大線性無關子集的基數。特別地， 的子空間的維度等於生成它所需的線性無關向量的數量（即，其基中向量的數量）。給定 的變換 ，