向量叢聯絡 -- 來自

向量叢 vector bundle 上的聯絡是一種“微分” bundle sections 的方法，其方式類似於函式的 exterior derivative 。特別地，聯絡是從光滑截面到具有 one-forms 的的光滑截面的函式，並滿足以下條件。

1. (萊布尼茨法則), 和

2. .

或者，聯絡可以被認為是的 bundle sections 的線性對映，即與 vector field 的截面，到的截面，類似於 directional derivative。函式在向量場方向上的 directional derivative 由給出。聯絡與向量場一起，可以應用於的截面，以獲得截面。從這個角度來看，聯絡也必須滿足

(1)

對於任何光滑函式。此屬性從第一個定義得出。

例如，trivial bundle 允許 flat connection，因為任何 bundle section 都對應於函式。然後設定給出聯絡。 trivial bundle 上的任何聯絡都具有的形式，其中是在中取值的任何 one-form，即是 one-forms 的矩陣。

one-forms 的矩陣

alpha=[dx 2xdy 0; 0 dx-3dy 0; xydx 0 y^2dx+dy]

(2)

確定了在上的秩為 3 的叢上的聯絡。它透過以下方式作用於截面。

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

在任何 trivialization 中，聯絡都可以像 trivial bundle 的情況一樣描述。但是，如果叢不是 trivial，則 exterior derivative 對於 bundle section 不是 well-defined （全域性地）。儘管如此，任何兩個聯絡之間的差異都必須是在的 endomorphisms 中取值的 one-forms，即，one forms 的矩陣。因此，聯絡空間形成一個 affine space。

叢的 bundle curvature 由公式給出。在座標中，是 two-forms 的矩陣。例如，在上面的例子中，

Omega=[0 2xdx ^ dy 0; 0 -3dx ^ dy 0; 0 2x^2ydx ^ dy y^2dx ^ dy]

(9)

是曲率。

描述聯絡的另一種方式是作為的 tangent bundle 的分裂，如。的垂直部分對應於沿纖維的切向量，並且是的核。水平部分不是先驗 well-defined 的。聯絡定義了的子空間，該子空間與同構。它定義了個 flat sections 使得，它們是的 fiber bundles 的 vector basis，至少在附近。這些 flat sections 確定了在附近的水平部分。此外，向量叢上的聯絡可以透過 associated principal bundle 上的 principal bundle connection 來定義。