第二類克里斯托費爾符號

第二類克里斯托費爾符號是從 黎曼度量 匯出的第二種 張量 狀物件，用於研究度量的幾何性質。第二類克里斯托費爾符號有多種表示方法，如 (Walton 1967) 或 (Misner et al. 1973, Arfken 1985)。它們也被稱為仿射聯絡（Weinberg 1972，第 71 頁）或聯絡係數（Misner et al. 1973，第 210 頁）。

遺憾的是，第二類克里斯托費爾符號有兩種不同的定義。

Arfken（1985，第 161 頁）定義了

其中 是一個 偏導數， 是 度量張量，

其中 是 徑向向量，以及

因此，對於正交曲線座標系，根據此定義，

定義 (6) 的對稱性意味著

(Walton 1967)。

這種第二類克里斯托費爾符號與 第一類克里斯托費爾符號 的關係為

Walton（1967）列出了 12 種基本正交座標系的第二類克里斯托費爾符號。

第二類克里斯托費爾符號的另一個不同定義由下式給出

（Misner et al. 1973，第 209 頁），其中 表示 梯度。請注意，這種克里斯托費爾符號在 和 中是不對稱的。

第二類克里斯托費爾符號不是 張量，但具有 張量 狀的 逆變 和 協變 索引。第二類克里斯托費爾符號也不像張量那樣變換。實際上，將座標從 更改為 得到

然而，完全 協變 的第二類克里斯托費爾符號由下式給出

（Misner et al. 1973，第 210 頁），其中 是 度量張量， 是 交換系數，逗號表示 逗號導數。在 標準正交基 中， 且 ，因此

以及

對於 張量秩 為 3 的 張量，第二類克里斯托費爾符號可以簡潔地以 矩陣 形式概括

克里斯托費爾符號由 第一基本形式 、 和 的係數給出

以及 和 。如果 ，則第二類克里斯托費爾符號簡化為

（Gray 1997）。

以下關係在第二類克里斯托費爾符號和第一 基本形式 的係數之間成立：

（Gray 1997）。

對於以 蒙日形式 給出的曲面，

第二類克里斯托費爾符號出現在 測地線 的計算中。自由運動的 測地線方程 為

或

展開，

但是

所以

其中