協變張量

協變張量，用下標表示（例如，）是一種張量，具有特定的變換性質。一般來說，這些變換性質與逆變張量的變換性質不同。

為了檢驗協變張量的變換性質，首先考慮梯度

(1)

為此

(2)

其中 。現在讓

(3)

那麼任何一組量 ，其變換規則為

(4)

或者，定義

(5)

按照

(6)

是一個協變張量。

逆變張量是一種變換性質不同的張量，用 表示。為了將逆變張量 轉換為協變張量 （降指標），使用度量張量 寫作

(7)

協變和逆變指標可以同時用於混合張量。

在歐幾里得空間中，更一般地，在平坦黎曼流形中，可以找到一個座標系，其中度量張量是常數，等於克羅內克 delta

(8)

因此，升降指標是平凡的，因此協變張量和逆變張量具有相同的座標，可以被等同。這樣的張量被稱為笛卡爾張量。

對於平坦偽黎曼流形（如閔可夫斯基空間）也存在類似的結果，協變張量和逆變張量可以被等同。然而，升降指標會改變張量時間分量的符號，因為閔可夫斯基度量中存在負特徵值。