Levi-Civita 聯絡

在黎曼流形 上，存在一個規範聯絡，稱為 Levi-Civita 聯絡 (發音為 lē-vē shi-vit-e)，有時也稱為黎曼聯絡或協變導數。作為聯絡 在切叢上，它為微分向量場、形式或任何其他型別的張量提供了一種明確定義的方法。斷言 Levi-Civita 聯絡存在的定理，它是唯一的無撓聯絡 在切叢 上，與度量相容，稱為黎曼幾何基本定理。

這些性質可以描述如下。設 、 和 為任意向量場， 表示度量。回想一下，向量場透過方向導數作為光滑函式環上的導子代數起作用，並且這種作用擴充套件到向量場上的作用。符號 是向量場的交換子，。Levi-Civita 聯絡是無撓的，意思是

(1)

並且與度量相容

(2)

在座標中，Levi-Civita 聯絡可以使用第二類克里斯托費爾符號 來描述。特別地，如果 ，則

(3)

或者換句話說，

(4)

作為聯絡 在切叢 上，它在對偶叢 以及它們所有的模張量積 上誘導一個聯絡。此外，給定一個子流形 ，它限制在 上，以給出度量限制在 上的 Levi-Civita 聯絡。

Levi-Civita 聯絡可以用來描述許多內蘊幾何物件。例如，路徑 是測地線 當且僅當 ，其中 是路徑的切向量。在更一般的路徑 上，方程 定義了平行輸運，對於沿 的向量場 。第二基本形式 子流形 由 給出，其中 是 的切叢， 是到法叢 的投影。曲率 由 給出。