模組張量積

在模 和 之間的張量積是比向量空間張量積更一般的概念。在這種情況下，我們將“標量”替換為環 。熟悉的公式仍然成立，但現在 是 的任意元素，

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這推廣了向量空間的張量積定義，因為向量空間是標量域上的模。此外，向量叢可以被視為函式環上的投射模，而群 的群表示可以被認為是 CG 上的模。這種推廣也涵蓋了這些型別的張量積。

對於模的張量積，存在一些在向量空間情況下不會發生的有趣的可能情況。 可能恆等於零。例如， 和 作為整數上的模的張量積，，沒有非零元素。足以看出 。注意到 。那麼

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因為 在 中，且 在 中。一般來說，證明元素為零比證明它們非零更容易。

張量積的另一個有趣的性質是，如果 是一個滿射，那麼對於任何其他模 ，誘導對映 也是滿射。但如果 是單射，那麼 可能不是單射。

例如，，其中 是單射，但 ，其中 ，不是單射。在 中，我們有 。

對於這種單射失敗有一種代數描述，稱為 Tor 模。

思考張量積的另一種方式是根據其泛性質：從 到 的任何雙線性對映都透過自然的雙線性對映分解。