流形切向量

粗略地說，切向量是流形上特定點的無窮小位移。點處的切向量集合形成一個向量空間，稱為點處的切空間，而流形上切空間的集合形成一個向量叢，稱為切叢。

流形上點處的切向量是在座標圖中點處的切向量。在附近的座標變化會導致切向量在座標中的表示發生可逆線性對映。這種變換由雅可比矩陣給出，在座標變換中，雅可比矩陣必須是非奇異的。因此，點處的切向量是良定義的。向量場是為每個點分配一個切向量。切向量的集合形成切叢，而向量場是該叢的截面。

切向量用於在流形上進行微積分。由於流形是區域性歐幾里得的，因此在任何座標圖中，微分和積分的通常概念都是有意義的，並且可以將其推廣到流形上。更具體地說，切向量是方向導數（在某一點）的流形版本。與微積分的另一種類比是相關的速度向量的概念。

關於切向量，至少有三種不同的觀點。每種觀點都有其優點和缺點。外在觀點使用歐幾里得空間的向量空間結構。將流形視為歐幾里得空間的子流形，可以將切向量視為切平面或子流形切空間中的元素。在座標圖中，切向量是（圖表）圖表切空間中的向量，而圖表切空間只是歐幾里得空間的副本。

外在觀點的缺點是它們依賴於嵌入或座標圖的選擇。有一些方法可以從內在角度考慮切向量，將其視為抽象內在切空間的元素。從抽象的角度來看，這些方法更令人滿意，但有時需要在座標圖中進行計算。

重要的是要區分點處的切向量和任何其他點處的切向量，即使它們看起來可能是平行的。在李群上，存在平行性的概念，並且存在非零向量場。一般來說，這遠非事實。例如，在球體上，任何光滑向量場都必須在某處消失。

切向量更內在的幾何定義是將點處的切向量視為透過點且一階相等的路徑的等價類。對於子流形，外在幾何定義是將切向量視為環境空間的切向量的子空間，

代數上，流形上的向量場是光滑函式環上的導子。也就是說，向量場作用於光滑函式並滿足乘積法則。向量場透過函式的方向導數作用於函式，

(1)

更準確地說，切叢是光滑函式層上的導子的拓撲層，在這種情況下，點處的切向量位於點處的層的莖中。

事實上，在座標中，原點處切向量的標準基的符號是

(2)

其中對的導數是通常的偏導數

(3)

讓基點在座標圖中變化，是向量場，但僅在此座標圖中定義。