圖切空間

從座標圖的角度來看，切空間的概念非常簡單。切空間由粒子可以採取的所有方向或速度組成。在 中的開集 中沒有約束，因此點 的切空間是 的另一個副本。集合 可以是 維流形的座標圖。

點 的切空間，表示為 ，是透過 的路徑的可能速度向量的集合。因此，存在一個規範向量基：如果 是座標，則 是切空間的基，其中 是一個粒子以單位速度沿座標 向內移動的速度向量。流形上每個點的所有切向量的集合，稱為切叢，是單個粒子在流形 中運動的相空間。

看起來在圖 中，點 的切空間與所有其他點的切空間相同。然而，雖然它們確實共享相同的維度並且是同構的，但在座標變換中，它們失去了規範同構。

例如，設 和 是單位區間 的座標圖。我們可以用 定義的 來改變座標。這是一個座標變換，因為導數在 上不消失。但是這種變換不是線性的，並且在 1 附近比在 0 附近更拉伸 。切向量透過導數變換。在 處，它們被拉伸了 倍。而在 處，它們被拉伸了 倍。

一般來說，切向量根據雅可比矩陣變換。點 處的切向量 也可以被視為另一個座標圖上 處的切向量 ，其中 是從一個圖到另一個圖的微分同胚。由 的雅可比矩陣確定的線性變換是可逆的，因為 是一個微分同胚。

雅可比矩陣和鏈式法則不僅表明切空間是良好定義的，與座標圖無關，而且還表明切向量可以“前推”。也就是說，給定流形之間的任何光滑對映 ，將 的切向量對映到 的切向量是有意義的。將 寫為 在 中的座標圖和 中的座標圖之間的函式，則 將 從 對映到 。 的另一個表示法是 ， 的微分。用張量的語言來說，切向量的前推意味著向量場是一個協變張量。