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鏈式法則

如果 g(x) 在點 x 處是可微的，並且 f(x) 在點 g(x) 處是可微的，那麼 f degreesg 在 x 處是可微的。此外，設 y=f(g(x)) 並且 u=g(x)，那麼

(dy)/(dx)=(dy)/(du)·(du)/(dx).
(1)

有許多相關的結果也以“鏈式法則”之名出現。例如，如果 z=f(x,y)， x=g(t)， 並且 y=h(t)，那麼

(dz)/(dt)=(partialz)/(partialx)(dx)/(dt)+(partialz)/(partialy)(dy)/(dt).
(2)

“廣義”鏈式法則適用於兩組函式

y_1=f_1(u_1,...,u_p)
(3)
|
(4)
y_m=f_m(u_1,...,u_p)
(5)

和

u_1=g_1(x_1,...,x_n)
(6)
|
(7)
u_p=g_p(x_1,...,x_n).
(8)

定義 m×n 雅可比旋轉矩陣 為

((partialy_i)/(partialx_j))=[(partialy_1)/(partialx_1) (partialy_1)/(partialx_2) ... (partialy_1)/(partialx_n); | | ... |; (partialy_m)/(partialx_1) (partialy_m)/(partialx_2) ... (partialy_m)/(partialx_n)],
(9)

以及類似地對於 (partialy_i/partialu_j) 和 (partialu_i/partialx_j)，則得到

((partialy_i)/(partialx_j))=((partialy_i)/(partialu_i))((partialu_i)/(partialx_j)).
(10)

以微分形式，這變為

dy_1=((partialy_1)/(partialu_1)(partialu_1)/(partialx_1)+...+(partialy_1)/(partialu_p)(partialu_p)/(partialx_1))dx_1+((partialy_1)/(partialu_1)(partialu_1)/(partialx_2)+...+(partialy_1)/(partialu_p)(partialu_p)/(partialx_2))dx_2+...
(11)

(Kaplan 1984)。

另請參閱

導數， 雅可比行列式， 冪法則， 乘積法則， 相關變化率問題 在 教室中探索此主題

使用 探索

參考文獻

Anton, H. “鏈式法則” 和 “鏈式法則的證明”。§3.5 和 AIII 見 解析幾何微積分，第二版。 紐約：Wiley，pp. 165-171 和 A44-A46，1999。Apostol, T. M. “複合函式微分的鏈式法則” 和 “鏈式法則的應用。相關變化率和隱式微分。” §4.10-4.11 見 微積分，第二版，第一卷：單變數微積分，線性代數導論。 Waltham, MA: Blaisdell，pp. 174-179，1967。Kaplan, W. “複合函式的導數和微分” 和 “廣義鏈式法則”。§2.8 和 2.9 見 高等微積分，第三版。 Reading, MA: Addison-Wesley，pp. 101-105 和 106-110，1984。

請引用為

Weisstein，Eric W. “鏈式法則。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ChainRule.html

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