外代數

外代數是楔積的代數，也稱為交錯代數或格拉斯曼代數。外代數的研究也稱為 Ausdehnungslehre 或擴張演算。外代數是分次代數。

特別地，向量空間的外代數是在自然數 中對 向量空間上的交錯微分k-形式的向量空間的直和。這個代數上的積是形式的楔積。向量空間 的外代數是透過形成單項式 、、 等來構造的，其中 、、、、 和 是 中的向量，而 是楔積。由單項式的線性組合形成的和是外代數的元素。

向量空間的外代數也可以描述為商向量空間，

(1)

其中 是由諸如 和 之類的換位生成的 -張量的子空間， 表示向量空間張量積。等價類 表示為 。例如，

(2)

因為代表元加起來是 的一個元素。因此，。有時 稱為 的第 外冪，也可以用 表示。

交錯積是張量積的子空間。定義線性對映

(3)

透過

(4)

其中 遍歷 的所有排列， 是由排列符號給出的排列的符號。那麼 是 Alt 的像，因為 是它的零空間。常數因子 （有時不使用）使 Alt 成為投影運算元。

例如，如果 具有向量基 ，那麼

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且 其中 且 是由 和 張成的向量空間。

空間 透過使用函式 Alt 定義的楔積成為一個代數。此外，如果 是一個線性變換，那麼對映 將 傳送到 。如果 且 其中 是一個方陣，那麼 。

交錯代數，也稱為外代數， 是一個 維的代數。在Wolfram 語言中，交錯代數的元素可以用一個 巢狀的二進位制列表表示。例如，1, 2, 0, 0, 3, 0, 4, 5, 表示 。

交錯形式的秩有幾個不同的定義。在研究微分理想的積分流形時使用的形式的秩是其形式包的維度。另一個定義是其作為張量的秩。

現代幾何中的微分k-形式是外代數，並在多元微積分中發揮作用。一般來說，只需要 具有模的結構。因此，外代數出現在表示論中。例如，如果 是群 的群表示，則 是 分解為兩個表示。