子流形切空間 -- 來自

曲面上一點的切平面是處的切空間（平移到原點後）。切空間的元素稱為切向量，並且它們在加法和標量乘法下是封閉的。特別地，切空間是一個向量空間。

任何歐幾里得空間的子流形，更一般地，任何抽象流形的子流形，在每個點都有一個切空間。切空間到的集合形成了切叢。向量場將每個點分配給處的切空間中的一個切向量。

定義子流形有兩種方法，每種方法都引出一種不同的定義切空間的方法。第一種方法使用引數化，第二種方法使用方程組。

(1)

其中是中的開單位球，並且。在點處，切空間是的雅可比矩陣的像，作為從到的線性變換。例如，考慮單位球

$S^2={(y_1,y_2,y_3):y_1^2+y_2^2+y_3^2=1}$

(2)

在中。那麼函式（定義域為 $U={(x_1,x_2):x_1^2+x_2^2<1}$ )

(3)

引數化了北極的鄰域。它在處的雅可比矩陣由矩陣給出

(4)

其像是處的切空間，

$TS^2|_((0,0,1))={(a,b,0)}.$

(5)

作為方程組的解集，子流形的另一種描述引出了切向量的另一種描述。考慮一個子流形，它是方程組的解集

其中且的雅可比矩陣，其中，在解到處的秩為。解處的切向量是上述方程（在處）的無窮小解。切向量是的導數（線性化）的解，即，它在雅可比矩陣的零空間中。

在重新計算球體在北極的切空間時考慮此方法。球體是二維的，被描述為單一方程（）的解。設定。我們想要計算解（在北極）處的切空間。在此點的雅可比矩陣是矩陣，其零空間是切空間

$TS^2|_((0,0,1))={(a,b,0)}.$

(9)

切空間看起來似乎取決於引數化的選擇，或者取決於方程組的選擇。由於函式的組合的雅可比矩陣服從鏈式法則，因此切空間是良定義的。請注意，微分同胚的雅可比矩陣是可逆線性對映，這些對應於可以更改方程的方式。用於證明切空間是良定義的線性代數的基本事實如下。

1. 如果是可逆的，則的像與的像相同。

2. 如果是可逆的，則的零空間與的零空間相同。更準確地說，。

這些技術適用於任何維度。此外，它們可以推廣到抽象流形的子流形，因為切向量取決於區域性性質。特別地，可以在任何座標圖表中計算切空間，因為座標圖表中的任何更改都對應於歐幾里得空間中的微分同胚。

切空間可以為更高維度的現象提供一些幾何見解。例如，為了計算中的環面（甜甜圈）的切空間（它是平坦流形），請注意，它可以透過以下方式引數化，

(10)

定義域為 $U={(x_1,x_2):x_1^2+x_2^2<1}$ ，在點附近。其在處的雅可比矩陣是矩陣

(11)

其像是切空間 $TM|_p={(a,0,b,0)}$ 。

或者，是方程組的解集

			(12)
			(13)

在解處的雅可比矩陣是矩陣

(14)

其零空間是切空間 $TM|_p={(a,0,b,0)}$ 。

子流形切空間