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球體四面體選取

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球體四面體選取是指選擇四點組，這些點組對應於頂點位於球體表面的四面體的頂點。n 個隨機四面體可以使用 Wolfram 語言中的以下函式在單位球面上選取RandomPoint[Sphere[], {n, 4}].

在球面上選取四個點。以這些點為多面體頂點的四面體包含球中心的機率是多少？在一維情況下，第二個點位於 1/2 的另一側的機率是 1/2。在二維情況下，選取兩個點。為了使第三個點形成包含中心的三角形，它必須位於由穿過圓的中心和兩點平分線的線段平分的象限內。這發生在一個象限內，所以機率是 1/4。類似地，對於球體，機率是一個卦限，即 1/8。

使用以下方法在單位球面表面上隨機選取四個點

x=sqrt(1-u^2)costheta
(1)
y=sqrt(1-u^2)sintheta
(2)
z=u
(3)

其中 u in [-1,1] 且 theta in [0,2pi)。現在找到由這些點確定的（非正）四面體可能體積的分佈。不失一般性，第一個點可以取為 u_1=1，或 (0,0,1)，而第二個點可以取為 (0,u_2)，或 (sqrt(1-u_2^2),0,u_2)。然後平均體積為

V^_=(int_(-1)^1int_(-1)^1int_(-1)^1int_(-1)^1int_0^piint_0^(2pi)|V|du_2du_3du_4dtheta_3dtheta_4)/(int_(-1)^1int_(-1)^1int_(-1)^1int_(-1)^1int_0^piint_0^(2pi)du_2du_3du_4dtheta_3dtheta_4)
(4)
=1/(16pi^2)int_(-1)^1int_(-1)^1int_(-1)^1int_(-1)^1int_0^piint_0^(2pi)|V|du_2du_3du_4dtheta_3dtheta_4,
(5)

其中頂點位於 (x_i,y_i,z_i)，其中 i=1, ..., 4，並且（有符號）體積由行列式給出

V=1/(3!)|x_1 y_1 z_1 1; x_2 y_2 z_2 1; x_3 y_3 z_3 1; x_4 y_4 z_4 1|.
(6)

解析結果難以計算，但四面體平均體積的精確結果由下式給出

V^_=4/(105)pi
(7)

(Miles 1971, Heinrich et al. 1998, Finch 2011)。對於偶數 n，原始矩可以更容易地計算出來，給出

mu_2^'=2/(81)
(8)
mu_4^'=4/(2025)
(9)
mu_6^'=(208)/(893025)
(10)
mu_8^'=(4352)/(130203045).
(11)

另請參閱

球體四面體選取, 立方體四面體選取, 幾何機率, 點選取, 球體線選取, 球面碼, 四面體

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參考文獻

Buchta, C. "A Note on the Volume of a Random Polytope in a Tetrahedron." Ill. J. Math. 30, 653-659, 1986.Finch, S. "Random Triangles VI." http://algo.inria.fr/csolve/rtg6.pdf. Jan. 7, 2011.Heinrich, L.; Körner, R.; Mehlhorn, N.; and Muche, L. "Numerical and Analytical Computation of Some Second-Order Characteristics of Spatial Poisson-Voronoi Tessellations." Statistics 31, 235-259, 1998.Miles, R. E. "Isotropic Random Simplices." Adv. Appl. Prob. 3, 353-382, 1971.

在 中被引用

球體四面體選取

請引用為

Weisstein, Eric W. "球體四面體選取。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/SphereTetrahedronPicking.html

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