球形碼

如何在 單位球體 上分佈 個點，使得它們最大化任意兩點之間的最小距離？這個最大距離稱為覆蓋半徑，這種配置稱為球形碼（或球形堆積）。1943 年，Fejes Tóth 證明了對於 個點，總是存在兩個點，它們的距離 為

並且對於 、4、6 和 12，這個極限是精確的。因此，球形堆積問題有時被稱為 Fejes Tóth 問題。一般問題尚未解決。

球形碼類似於 湯姆森問題，後者尋求約束在 球體 表面移動並以平方反比定律相互排斥的 個經典電子的穩定平衡位置。

在 Wolfram 語言 中，可以使用函式SpherePoints[n]。

對於兩個點，這些點應該位於 直徑 的兩端。對於四個點，它們應該放置在內接 正四面體 的 多面體頂點 上。對於五個點，沒有唯一的最佳解決方案，因為距離不能降低到低於六個點的距離。對於六個點，它們應該放置在內接 正八面體 的 多面體頂點 上。對於七個點，最佳解決方案是四個角度為 的等邊 球面三角形。對於八個點，最佳分散不是內接 立方體 的 多面體頂點，而是具有相等 多面體邊 的 正方反稜柱 的多面體頂點。九個點的解是八個角度為 的等邊球面三角形。對於 12 個點，解是內接 正二十面體。

球形堆積對應於將 個球體放置在中心單位球體周圍。從簡單的三角學，

因此， 個球體的半徑由下式給出

對於最小分離角 。Hardin 和 Sloane 給出了 和 、4、5 的最小分離和球體位置表。

“幾乎” 13 個球體可以圍繞一箇中心球體放置，因為當放置 12 個球體時，會留下一個間隙，這個間隙幾乎足夠容納一個額外的球體（左圖）。事實上，球體的半徑可以增加到 1.10851（假設中心單位球體），在 12 個球體不再適合之前（中圖）。為了將 13 個球體圍繞中心單位球體放置，它們的半徑必須不大於 0.916468（右圖）。這些值分別對應於 Hardin 和 Sloane 的角度 和 。

堆積八個單位球體，它們的中心位於立方體的頂點。那麼，適合中心孔（左圖）的最大球體的半徑由下式給出

給出

類似地，可以從一側穿到另一側（右圖）的最大球體的半徑為

與

給出