正八面體

正八面體，通常簡稱為“八面體”，是具有六個多面體頂點，12條多面體邊和八個等價的等邊三角形面的柏拉圖立體，表示為 。上面展示了它的圖形，以及線框版本和一個可用於其構造的網格。

正八面體也是 Maeder 索引為 5 (Maeder 1997)，Wenninger 索引為 2 (Wenninger 1989)，Coxeter 索引為 17 (Coxeter et al. 1954) 和 Har'El 索引為 10 (Har'El 1993) 的均勻多面體。它由施萊夫利符號 和 Wythoff 符號 給出。單位邊長的八面體是 邊的反稜柱，高度為 （即，正三角形反稜柱）。八面體也是邊長相等的正方雙角錐。

上面展示了正八面體的若干對稱投影。

正八面體在 Wolfram 語言中實現為Octahedron[] 或UniformPolyhedron["Octahedron"]。預計算屬性可作為PolyhedronData["Octahedron", prop] 獲取。

八面體有 11 種不同的網格，與立方體相同 (Buekenhout and Parker 1998)。可以使用 Pólya 列舉定理 解決八面體的多面體著色問題。

八面體是四半六面體的凸包。

單位邊長八面體的對偶多面體是邊長為 的立方體。

上面的插圖展示了由單張紙構建的摺紙八面體（Kasahara 和 Takahama 1987，第 60-61 頁）。

與立方體一樣，正八面體具有 八面體群對稱性。

頂點的連通性由八面體圖給出。

正八面體只有一個星形化：星狀八面體。星狀八面體的兩個四面體（左圖）所包圍的實體是正八面體（右圖；Ball 和 Coxeter 1987）。

S. Wagon（私人通訊，2013 年 10 月 30 日）構建了一個由八個正八面體組成的閉環。

下表給出了可以透過給定高度 的稜錐增廣正八面體而構建的多面體。

上面展示了正八面體的三種方向。左側的頂點為 , , , （邊長為 ），中間的頂點為 , , （邊長為 ），右側的頂點為 和 （邊長為 ）。

在前一種情況下，面平面為 ，因此實心八面體由以下方程給出

如果正八面體的邊按黃金比例分割，使得任何面的分割點形成一個等邊三角形，那麼十二個分割點就形成一個二十面體 (Wells 1991)。實際上，邊可以在內部以黃金比例分割成兩種方式，也可以在外部以黃金比例分割成兩種方式，從而產生四個可能的二十面體。保持相同的連通性，但反轉分割的長端和短端會得到傑森正交二十面體。

垂直於八面體的 軸的平面切割實體形成規則的六邊形橫截面 (Holden 1991，第 22-23 頁)。由於有四個這樣的軸，因此有四個可能的六邊形橫截面。

正八面體的面中心形成一個立方體，而立方體的面中心形成一個八面體 (Steinhaus 1999，第 194-195 頁)。正八面體的刻面形式包括立方截角立方八面體和四半六面體。

設正八面體的邊長為 。頂部多面體頂點到正方形平面的高度也是外接球半徑

其中

是對角線長度，所以

現在計算內切球半徑。

所以

使用相似三角形獲得

所以內切球半徑是

並且兩倍的內切球半徑給出了八面體作為 3 邊反稜柱的高度。八面體的中間半徑是

正八面體一個面的面積是等邊三角形的面積

體積是正方形底金字塔體積的兩倍，

二面角為

單位正八面體的Dehn 不變數為

（OEIS A377296），其中第一個表示式使用 Conway et al. (1999) 的基。

正八面體可以使用Haűy 構造構建。Haűy 八面體數

給出了另一種計算八面體體積的方法，

與上面推導的結果一致。