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反稜柱

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一般的 n-角反稜柱是由相同的頂部和底部 n-角面組成的多面體，其周邊由帶狀的 2n 個具有交替上下方向的三角形構成。

如果頂部和底部面是正 n-邊形，彼此在垂直於多邊形平面的方向上錯位，並且彼此相對旋轉 180 degrees/n 度角，則該反稜柱被稱為直立反稜柱，其面是等邊三角形。

Antiprisms
AntiprismNets

均勻或等邊反稜柱，有時簡稱為“反稜柱”（例如，Cromwell 1997，第 85 頁）是由兩個正 n-邊形和 2n 個等邊三角形構成的半正多面體，其中 n-邊形彼此相對旋轉 180 degrees/n 度角，並在垂直方向上分隔開，使得連線頂部和底部 n-邊形的三角形邊與 n-邊形的邊長相同。 這樣的反稜柱具有最高的對稱性，並且它們的網格特別簡單，由頂部和底部的兩個 n-邊形組成，中間由一條 2n 個等邊三角形的帶狀區域分隔，兩個 n-邊形偏移了一個帶狀區域的段長。

反稜柱的對偶是偏方面體。

與反稜柱骨架相對應的圖，不出所料，被稱為反稜柱圖。

邊長為 a 的正 n-邊形的弓形高為

s=1/2atan(pi/(2n)).
(1)

設 d 為直立反稜柱頂部和底部底面距離為 h 時的側稜長度，則

s^2+(1/2a)^2+h^2=d^2,
(2)

因此

d=1/2sqrt(4h^2+a^2sec^2(pi/(2n))).
(3)

對於等邊反稜柱 d=a，因此求解 h 得到

h=sqrt(1-1/4sec^2(pi/(2n)))a.
(4)

考慮高度為 h 和底面外接圓半徑為 R 的單位等邊反稜柱。 則外接圓半徑 R_(circ) 由下式給出

R_(circ)=sqrt((1/2h)^2+R^2)
(5)
=1/4sqrt(4+csc^2(pi/(2n)))a,
(6)

其中

R=1/2csc(pi/n)a
(7)

是其中一個底面的外接圓半徑。

正四面體可以被認為是退化的 2-等邊反稜柱，而高度為 sqrt(6)a/3（邊長為 a）的 3-等邊反稜柱就是正八面體。 然後，對於 n=3, 4, ... 產生等邊反稜柱的前幾個高度 h_n 是

h_3=1/3sqrt(6)a
(8)
h_4=2^(-1/4)a
(9)
h_5=sqrt(1/(10)(5+sqrt(5)))a
(10)
h_6=sqrt(sqrt(3)-1)a
(11)
h_8=sqrt(sqrt(5+7/2sqrt(2))-1-sqrt(2))a.
(12)

直立 n-角反稜柱的表面積為

S=2A_(n-gon)+2nA_Delta
(13)
=2[1/4na^2cot(pi/n)]+2n(1/2a)sqrt(s^2+h^2)
(14)
=1/2na[acot(pi/n)+2sqrt(h^2+1/4a^2tan^2(pi/(2n)))].
(15)

對於等邊反稜柱，這簡化為

S=1/2n[cot(pi/n)+sqrt(3)]a^2.
(16)

然後，n=3, 4, ... 的等邊反稜柱的表面積為

S_3=2sqrt(3)a^2
(17)
S_4=2(1+sqrt(3))a^2
(18)
S_5=1/2(5sqrt(3)+sqrt(25+10sqrt(5)))a^2
(19)
S_6=6sqrt(3)a^2
(20)
S_8=4(1+sqrt(2)+sqrt(3))a^2.
(21)
AntiprismLengths

為了找到直立反稜柱的體積，按照上圖示記頂點。 然後，向量 v_1 和 v_2 由下式給出

v_1=(-s,1/2a,h)
(22)
v_2=(-s,-1/2a,h),
(23)

因此，到一個側面平面的法線是

n=v_1xv_2=(ah,0,as),
(24)

單位法線是

n^^=(v_1xv_2)/(|v_1xv_2|)=((ah)/(sqrt(a^2(h^2+s^2))),0,(as)/(sqrt(a^2(h^2+s^2)))).
(25)

頂點在中心，底面是由 x_1 和 x_2 確定的三角形的金字塔的高度，由從原點到平面上一點的向量在法線上的投影給出，

h_(pyr)=u^^·(R-s,-1/2a,1/2h)
(26)
=u^^·(R-s,1/2a,1/2h)
(27)
=u^^·(R,0,1/2h)
(28)
=(a^2hcot(pi/(2n)))/(4sqrt(a^2[h^2+1/4a^2tan^2(pi/(2n))])).
(29)
AntiprismVolume

因此，以側面為底面的 2n 個金字塔的總體積是

V_(pyr)=(2n)[1/3h_(pyr)(1/2asqrt(s^2+h^2))]
(30)
=1/(12)a^2hcot(pi/(2n)).
(31)

對於等邊反稜柱的情況，代入上面的 h 得到

V_(pyr)=1/(12)ncot(pi/(2n))sqrt(1-1/4sec^2(pi/(2n)))a^3.
(32)

以上下表面為底面的兩個金字塔貢獻的體積為

V_(base)=2(1/3)(1/2h)[1/4na^2cot(pi/n)]
(33)
=1/(12)na^2hcot(pi/n).
(34)

再次使用上面的 h 並結合這兩個體積，得到等邊反稜柱的總體積為

V=1/(12)n[cot(pi/(2n))+cot(pi/n)]sqrt(1-1/4sec^2(pi/(2n)))a^3.
(35)

因此，前幾個等邊反稜柱的體積由下式給出

V_3=1/3sqrt(2)a^3
(36)
V_4=1/3sqrt(4+3sqrt(2))a^3
(37)
V_5=1/6(5+2sqrt(5))a^3
(38)
V_6=sqrt(2(1+sqrt(3)))a^3.
(39)

另請參閱

反稜柱圖, 側旋拉長稜錐, 八面體, 稜柱, 平截頭體, 正方反稜柱, 偏方面體

使用 探索

參考文獻

Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. "Polyhedra." Ch. 5 in Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 130, 1987.Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, p. 149, 1969.Cromwell, P. R. Polyhedra. New York: Cambridge University Press, pp. 85-86, 1997.Pedagoguery Software. Poly. http://www.peda.com/poly/.Pegg, E. Jr. "Perfect and Almost Perfect Rings (Chains) of 4-Antiprisms." https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/2451238.Webb, R. "Prisms, Antiprisms, and their Duals." http://www.software3d.com/Prisms.html.

在 上引用

反稜柱

引用為

Weisstein, Eric W. "反稜柱." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Antiprism.html

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