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立方體四面體拾取

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CubeTetrahedronPicking

給定在單位立方體內隨機選擇的四個點，由這些點確定的四面體的平均體積由下式給出

V^_=(int_0^1...int_0^1_()_(12)|V(x_i)|dx_1...dx_4dy_1...dy_4dz_1...dz_4)/(int_0^1...int_0^1_()_(12)dx_1...dx_4dy_1...dy_4dz_1...dz_4),
(1)

其中多面體頂點位於 (x_i,y_i,z_i) 其中 i=1, ..., 4，並且（有符號）體積由行列式給出

V=1/(3!)|x_1 y_1 z_1 1; x_2 y_2 z_2 1; x_3 y_3 z_3 1; x_4 y_4 z_4 1|.
(2)

該積分非常難以計算，但平均四面體體積的解析結果是

V^_=(3977)/(216000)-(pi^2)/(2160)=0.01384277...
(3)

(OEIS A093524; Zinani 2003)。 請注意，Seidov (2000) 的回覆中引用的結果實際上指的是四面體四面體拾取的平均體積。

另請參閱

球體四面體拾取, 立方體, 八面體四面體拾取, 點拾取, 球體四面體拾取, 正方形三角形拾取, 四面體, 四面體四面體拾取

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參考資料

Do, K.-A. and Solomon, H. "A Simulation Study of Sylvester's Problem in Three Dimensions." J. Appl. Prob. 23, 509-513, 1986.Seidov, Z. F. "Letters: Random Triangle." Mathematica J. 7, 414, 2000.Sloane, N. J. A. Sequence A093524 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Zinani, A. "The Expected Volume of a Tetrahedron Whose Vertices are Chosen at Random in the Interior of a Cube." Monatshefte Math. 139, 341-348, 2003.

在 上被引用

立方體四面體拾取

引用為

Weisstein, Eric W. "Cube Tetrahedron Picking." 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/CubeTetrahedronPicking.html

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