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正方形三角形選取

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Square triangle picking

正方形三角形選取是在一個正方形內隨機放置的點的三元組（對應於一個三角形的端點）的選擇。n 個隨機三角形可以在單位正方形中使用 Wolfram 語言 中的以下函式選取RandomPoint[Rectangle[], {n, 3}].

給定在單位正方形內隨機選擇的三個點，由這些點確定的三角形的平均面積由以下多重積分解析給出

A^_=(int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1|Delta|dx_1dx_2dx_3dy_1dy_2dy_3)/(int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1dx_1dx_2dx_3dy_1dy_2dy_3)
(1)
=int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1|Delta|dx_1dx_2dx_3dy_1dy_2dy_3.
(2)

這裡，(x_i,y_i) 表示三角形的多邊形頂點，其中 i=1, 2, 3，並且這些三角形的（有符號）面積由行列式給出

Delta=1/(2!)|x_1 y_1 1; x_2 y_2 1; x_3 y_3 1|
(3)
=1/2(-x_2y_1+x_3y_1+x_1y_2-x_3y_2-x_1y_3+x_2y_3).
(4)

該解最早由 Woolhouse (1867) 給出。由於嘗試透過蠻力計算積分會導致難以處理的被積函式，因此使用計算機代數處理的最佳方法是使用柱狀代數分解將六維積分割槽域劃分為子區域，使得 Delta 的符號不變，直接在每個區域中進行積分，然後合併結果 (Trott 1998)。根據積分變數的排序順序，可以獲得 32 到 4168 個區域。合併這些部分的結果給出了平均三角形面積

A^_=(11)/(144)
(5)

(Ambartzumian 1987, Pfiefer 1989, Trott 1998; Trott 2006, pp. 303-304)。

一旦 A^_ 已知，面積的方差很容易計算，首先計算原點矩 mu_2^'=<A^2>,

<A^2>=int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1Delta^2dx_1dx_2dx_3dy_1dy_2dy_3
(6)
=1/(96),
(7)

給出

var(A^_)=<A^2>-A^_^2
(8)
=(95)/(20746)
(9)
=0.004581....
(10)
SquareTrianglePickingDistribution

在一個正方形內接隨機三角形的面積的分佈函式由下式精確給出

P(A)=4[12(ln(2A)-5)ln(2A)A^2+24(A+1)Li_2(2A)A-4(A+1)pi^2A-6A+3(2A-1)(10A+1)ln(1-2A)+3]
(11)

(M. Trott, 私人通訊，2005 年 1 月 27 日；Trott 2006, p. 306)。相應的分佈函式由下式給出

D(A)=-(16)/3[17-3ln(2A)]A^3+16(2A+3)[Li_2(2A)-1/6pi^2] +4/3(1-17A)A+2/3(1-2A)(1-16A-68A^2)ln(1-2A)
(12)

(Philip)。

P(A) 滿足美麗的四階常微分方程

A^3(1-2A)P^('''')(A)+A^2P^(''')(A)-4A^2P^('')(A)+8AP^'(A) -8P(A)-96(2A-1)=0
(13)

(M. Trott, 私人通訊，2005 年 1 月 27 日；Trott 2006, p. 307)。

這給出了原點矩 mu_n^' 的優美公式為

mu_n^'=(3·2^(3-n)[(n+2)H_(n+1)+1])/((n+1)(n+2)^3(n+3)^2),
(14)

其中 H_n 是一個調和數，因此 n=1, 2, ... 的原點矩為 11/144, 1/96, 137/9000, 1/2400, 363/109760, ... (OEIS A093158 和 A093159)。

對於第 n 個中心矩 mu_n，閉合形式更難計算，但前幾個 n=1, 2, ... 為 0, 95/20736, 75979/186624000, 1752451/17915904000, ... (OEIS A103281 和 A103282; Trott 2006, p. 307)。

SquareTrianglePickingPointDistribution

給定點 (x,y) 位於隨機選取的三角形內的機率的閉合形式也可以獲得為

P_0(x,y)=(f(x,y)(x-1)^2)/(2x(y-1)y)-3/2(6xy^2-4y^2-6xy+4y+2x-1)ln(1/x-1)(x-1)^2+3/2(2y-1)(2xy^2-2y^2-2xy+2y+2x-1)ln(1/y-1) ×(x-1)^2,
(15)

其中

f(x,y)=12x^2y^4-30xy^4+3y^4-24x^2y^3+60xy^3-6y^3+25x^2y^2-43xy^2+4y^2-13x^2y+13xy-y+x^2-x
(16)

(M. Trott, 私人通訊，2005 年 1 月 31 日；Trott 2006, p. 310)。此表示式對於 1/2<=x<1 和 1/2<=y<=x 有效，整個單位正方形上的表示式由對稱性給出為

P(x,y)={P_0(x,y) for 1/2<=x<1,1/2<=y<=x; P_0(x,1-y) for 1/2<=x<1, 1/2<=1-y<=x; P_0(1-y,x) for 1/2<=x<1, 0<y<=1-x; P_0(1-y,1-x) for 0<x<=1/2, 0<y<=x; P_0(1-x,1-y) for 0<x<=1/2, x<=y<=1/2; P_0(1-x,y) for 0<x<=1/2, x<=1-y<=1/2; P_0(y,1-x) for 0<x<=1/2, 0<1-y<=x; P_0(y,x) for 1/2<=x<1, 0<1-y<=1-x.
(17)

正如預期的那樣，此表示式滿足

int_0^1int_0^1P(x,y)dxdy=(11)/(144).
(18)

在單位正方形中隨機選取三個點，並將這三個點形成鈍角三角形的機率表示為 Pi(2)。Langford (1969) 證明了

Pi(2)=(97)/(150)+1/(40)pi
(19)
=0.725206483...
(20)

(OEIS A093072)。

另請參閱

立方體四面體選取, 海爾布朗三角形問題, 六邊形三角形選取, 鈍角三角形, 多邊形三角形選取, 正方形直線選取, 西爾維斯特四點問題, 三角形三角形選取, 單位正方形

在 中探索

參考文獻

Alagar, V. S. "On the Distribution of a Random Triangle." J. Appl. Prob. 14, 284-297, 1977.Ambartzumian, R. V. (Ed.). Stochastic and Integral Geometry. Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1987.Buchta, C. "Über die konvexe Hülle von Zufallspunkten in Eibereichen." Elem. Math. 38, 153-156, 1983.Buchta, C. "Zufallspolygone in konvexen Vielecken." J. reine angew. Math. 347, 212-220, 1984.Finch, S. R. "Geometric Probability Constants." §8.1 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 479-484, 2003.Henze, N. "Random Triangles in Convex Regions." J. Appl. Prob. 20, 111-125, 1983.Klee, V. "What Is the Expected Volume of a Simplex Whose Vertices Are Chosen at Random from a Given Convex Body." Amer. Math. Monthly 76, 286-288, 1969.Langford, E. "The Probability that a Random Triangle is Obtuse." Biometrika 56, 689-690, 1969.Pfiefer, R. E. "The Historical Development of J. J. Sylvester's Four Point Problem." Math. Mag. 62, 309-317, 1989.Philip, J. "The Area of a Random Convex Polygon." Tech. Report TRITA MAT 04 MA 07. n.d. http://www.math.kth.se/~johanph/area12.pdf.Santaló, L. A. Integral Geometry and Geometric Probability. Reading, MA: Addison-Wesley, 1976.Seidov, Z. F. "Letters: Random Triangle." Mathematica J. 7, 414, 2000.Seidov, Z. F. 2000. http://axchiv.org/abs/math.GM/0002134/.Sloane, N. J. A. Sequences A093072, A093158, A093159, A103281, and A103282 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Trott, M. "The Area of a Random Triangle." Mathematica J. 7, 189-198, 1998. http://library.wolfram.com/infocenter/Articles/3413/.Trott, M. "Area of a Random Triangle in a Square." §1.10.1 in The Mathematica GuideBook for Symbolics. New York: Springer-Verlag, pp. 298-311, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Woolhouse, W. S. B. "Question 2471." Mathematical Questions, with Their Solutions, from the Educational Times, Vol. 8. London: F. Hodgson and Son, pp. 100-105, 1867.

在 上被引用

正方形三角形選取

請引用為

Weisstein, Eric W. "正方形三角形選取。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/SquareTrianglePicking.html

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