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正方形直線選取

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正方形直線選取是在一個正方形內隨機放置的點對（對應於線段的端點）的選擇。n 條隨機線段可以在單位正方形中用 Wolfram 語言使用以下函式選取RandomPoint[Rectangle[], {n, 2}].

從單位正方形內部隨機選取兩個點，它們之間的平均距離是超立方體直線選取的 n=2 情況，即，

Delta(2)=1/(15)[sqrt(2)+2+5ln(1+sqrt(2))]
(1)
=1/(15)(2+sqrt(2)+5sinh^(-1)1)
(2)
=0.521405433...
(3)

(OEIS A091505)。

SquareLinePickingDistribution

精確的機率函式由下式給出

P(l)={2l(l^2-4l+pi) for 0<=l<=1; 2l[4sqrt(l^2-1)-(l^2+2-pi)-4tan^(-1)(sqrt(l^2-1))] for 1<=l<=sqrt(2)
(4)

(M. Trott，私人通訊，3 月 11 日，2004 年），相應的分佈函式由下式給出

D(l)={1/2l^4-8/3l^3+pil^2 for 0<=l<=1; -1/2l^4-4l^2tan^(-1)(sqrt(l^2-1))+4/3(2l^2+1)sqrt(l^2-1)+(pi-2)l^2+1/3 for 1<=l<=sqrt(2).
(5)

由此，可以計算平均距離 l^_=Delta(2)，以及長度的方差，

var(l)=1/(225)[69-4sqrt(2)-10(2+sqrt(2))sinh^(-1)1-25(sinh^(-1)1)^2]
(6)
=0.061469....
(7)

統計中位數由四次方程的根給出

1/2x^4-8/3x^3+pix^2-1/2=0,
(8)

大約為 l^~=0.512003...。

第 n 階原點矩對於 n=2, 4, 6, ... 給出為 1/3, 17/90, 29/210, 187/1575, 239/207, ... (OEIS A103304 和 A103305)。

如果不是從正方形內部選取兩個點，而是在單位正方形不同邊上隨機選擇兩個點，則以這種方式選取的兩個點之間的平均距離為

Delta_f(2)=2/3int_0^1int_0^1sqrt(x^2+y^2)dxdy+1/3int_0^1int_0^1sqrt(1+(y-u)^2)dudy
(9)
=1/9(2+sqrt(2)+5sinh^(-1)1)
(10)
=1/9[2+sqrt(2)+5ln(1+sqrt(2))]
(11)
=0.869009...
(12)

(OEIS A091506; Borwein 和 Bailey 2003, p. 25; Borwein et al. 2004, p. 66)。

另請參閱

盒積分, 立方體直線選取, 圓盤直線選取, 超立方體直線選取, 正方形點選取, 正方形三角形選取, 三角形直線選取, 三角形點選取

使用 探索

參考文獻

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; 和 Weisstein, E. W. "Ten Problems in Experimental Mathematics." Amer. Math. Monthly 113, 481-509, 2006b.Borwein, J. 和 Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Borwein, J.; Bailey, D.; 和 Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Sheng, T. .K. "The Distance between Two Random Points in Plane Regions." Adv. Appl. Prob. 17, 748-773, 1985.Sloane, N. J. A. 序列 A091505, A091506, A103304, 和 A103305，出自 "整數序列線上百科全書"。Trott, M. "The Mathematica Guidebooks Additional Material: Average Distance Distribution." http://www.mathematicaguidebooks.org/additions.shtml#S_1_14.

在 中被引用

正方形直線選取

請引用為

Weisstein, Eric W. "正方形直線選取。" 出自 Web 資源。 https://mathworld.tw/SquareLinePicking.html

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