三角形內點選取

給定一個頂點位於原點，另兩個頂點位於位置 和 的三角形，人們可能認為三角形內部的隨機點可以由下式給出

(1)

其中 和 是區間 內的均勻變數。然而，正如在上面的圖中可以看到的，這會非均勻地取樣三角形，將點集中在 角落。

從均勻分佈 中隨機選取每個 三線座標 也不會在三角形內產生均勻的點間距。如上圖所示，結果點集中在中心附近。

為了在三角形內部均勻選取點，可以改為選取

(2)

其中 和 是區間 內的均勻變數，這會給出均勻分佈在 四邊形 中的點（左圖）。不在 三角形內部 的點可以被丟棄，或者變換到三角形內部的對應點（右圖）。

從單位邊長的 等邊三角形 內部隨機選取的點到三角形中心的期望距離是

(3)

到固定頂點的期望距離是

(4)

到最近頂點的期望距離是

(5)

而到最遠頂點的期望距離是

(6)

從單位面積的三角形中獨立且均勻地選取 個點，得到的 凸包 的期望面積為

			(7)
			(8)

其中 是 調和數 (Buchta 1984, 1986)。前幾個值是 0, 0, 1/12, 1/6, 43/180, 3/10, 197/560, ... (OEIS A093762 和 A093763)。這是 單純形單純形選取 的一個特例。