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三角形三角形拾取

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Triangle triangle picking

沃森 (1865) 提出了在單位面積三角形內選取頂點的三角形的平均三角形面積問題，並由西爾維斯特解決。它的解是多邊形三角形拾取的一般公式的特例。

由於該問題是仿射的，因此可以透過簡單地考慮單位腿長的等腰直角三角形來解決。將三角形面積公式在頂點六個座標上積分（並透過將單位在區域上的積分除以三角形面積和積分割槽域進行歸一化）得到

A^_=(int_0^1int_0^(x_1)int_0^1int_0^(x_2)int_0^1int_0^(x_3)|Delta|dy_3dx_3dy_2dx_2dy_1dx_1)/(int_0^1int_0^(x_1)int_0^1int_0^(x_2)int_0^1int_0^(x_3)dy_3dx_3dy_2dx_2dy_1dx_1)
(1)
=8int_0^1int_0^(x_1)int_0^1int_0^(x_2)int_0^1int_0^(x_3)|-x_2y_1+x_3y_1+x_1y_2-x_3y_2-x_1y_3+x_2y_3|dy_3dx_3dy_2dx_2dy_1dx_1,
(2)

其中

Delta=1/(2!)|x_1 y_1 1; x_2 y_2 1; x_3 y_3 1|
(3)

是頂點為 (x_1,y_1)、(x_2,y_2) 和 (x_3,y_3) 的三角形的三角形面積。

可以使用計算機代數透過使用柱狀代數分解分解積分割槽域來求解積分。這導致 62 個區域，其中 30 個區域具有不同的積分，每個區域都可以直接積分。然後將結果組合起來得到結果

A^_=1/(12)
(4)

（Pfiefer 1989；Zinani 2003）。

TriangleTrianglePickingDistribution

精確分佈函式 D(A) 由 Philip 推導。P(A) 和 D(A) 由下式給出

P_1(A)=-1/(1+sqrt(1-4x)-4x)[4(-3(1+sqrt(1-4x))-3ln2+x[4pi^2(1+sqrt(1-4x)-4x)(1+x)+3(5+sqrt(1-4x)-22ln2+4x(-1+26ln2))]+[3+6(11-52x)x]ln(1+sqrt(1-4x))+3xlnx[-1+sqrt(1-4x)+(4+52sqrt(1-4x))x+3x(-1-sqrt(1-4x)+4x)lnx]3[ln2-ln(1+sqrt(1-4x))][sqrt(1-4x)(1+2(11-52x)x)+12(1+sqrt(1-4x)-4x)x(1+x) ×[ln2-ln(1+sqrt(1-4x))+lnx]])] P_2(A)=2[6-2pi^2x^2+pisqrt(4x-1)+26pixsqrt(4x-1)-6[-4pix(1+x)+sqrt(4x-1)(1+26x)]csc^(-1)(2sqrt(x))-72x(1+x)[csc^(-1)(2sqrt(x))]^2-3lnx-2x(3+pi^2+9lnx(4+lnx))] D_1(A)=8(2x^3+3x^2)[3ln((1+sqrt(1-4x))/2)×((1+sqrt(1-4x))/(2x))-(pi^2)/3]+2/5(324x^2+28x-1)[1/2lnx-ln((1+sqrt(1-4x))/2)]sqrt(1-4x)+12x^3(lnx)^2-(54x^2+6x-1/5)lnx-(57)/5x^2+(62)/5x D_2(A)=8(2x^3+3x^2)[2pi-3cos^(-1)(1/(2sqrt(x)))cos^(-1)(1/(2sqrt(x))) -(pi^2)/3]+2/5(324x^2+28x-1)[cos^(-1)(1/(2sqrt(x)))-pi/3]sqrt(1-4x)-18x^2(lnx)^2-(54x^2+6x-1/5)lnx-(57)/5x^2+(62)/5x,
(5)

其中下標 1 表示區域 0<=A<=1/4，2 表示區域 1/4<A<=1。

原始矩 mu_n^' 對於 P(A)，當 n=1, 2, ... 時分別為 1/12, 1/144, 31/9000, 1/450, 1063/617400, 403/264600, ... （OEIS A103474 和 A103475）。

中心矩 mu_n 對於 P(A)，當 n=1, 2, ... 時分別為 0, 1/144, 61/54000, 343/864000, 9493/66679200, ... （OEIS A130117 和 A130118）。

另請參閱

圓盤三角形拾取, 海爾布朗三角形問題, 六邊形三角形拾取, 多邊形三角形拾取, 正方形三角形拾取, 西爾維斯特四點問題, 四面體四面體拾取, 三角形面積, 三角形線段拾取, 三角形點拾取

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參考文獻

Pfiefer, R. E. "The Historical Development of J. J. Sylvester's Four Point Problem." Math. Mag. 62, 309-317, 1989.Philip, J. "The Area of a Random Convex Polygon in a Triangle." Tech. Report TRITA MAT 05 MA 04. n.d. http://www.math.kth.se/~johanph/area2.pdf.Sloane, N. J. A. Sequences A103474, A103475, A130117, and A130118 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Watson, S. "Question 1229." Mathematical Questions, with Their Solutions, from the Educational Times, Vol. 4. London: F. Hodgson and Son, p. 101, 1865.Zinani, A. "The Expected Volume of a Tetrahedron Whose Vertices are Chosen at Random in the Interior of a Cube." Monatshefte Math. 139, 341-348, 2003.

在 中引用

三角形三角形拾取

引用為

Weisstein, Eric W. “三角形三角形拾取。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/TriangleTrianglePicking.html

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