圓盤三角形選取

在一個單位圓盤 （即，單位圓的內部）中獨立且均勻地選取三個點 、 和 。那麼由這些點確定的三角形的平均面積是

(1)

使用圓盤點選取，這可以寫成：

(2)

其中

(3)

然後可以使用三角代換來消除三角函式，並將積分拆分為：

(4)

其中

			(5)
			(6)

然而，評估積分最簡單的方法是使用克羅夫頓公式和極座標，從而得到平均三角形面積：

(7)

對於單位半徑圓盤（OEIS A189511），或

(8)

對於單位面積圓盤（OEIS A093587；Woolhouse 1867；Solomon 1978；Pfiefer 1989；Zinani 2003）。這個問題與西爾維斯特四點問題密切相關，並且可以作為一般多邊形三角形選取問題的極限（當 時）推匯出來。

如上所示的面積分布，顯然尚不精確已知。

圓盤中三個隨機點形成銳角三角形的機率 是：

(9)

（OEIS A093588；Woolhouse 1886）。Hall（1982）將該問題推廣到 維球體三角形選取，Buchta（1986）給出了 Hall 積分的閉合形式評估。