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單純形 單純形 選取

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給定一個在歐幾里得 d-空間中單位體積的單純形，隨機均勻且獨立地選取 n>=d+1 個點，並將其凸包的期望體積記為 V(d,n)。精確值僅在 d=1 和 2 時已知。

V(1,n)=1-2/(n+1)
(1)
=(n-1)/(n+1),
(2)

(Buchta 1984, 1986)，給出了前幾個值 0, 1/3, 1/2, 3/5, 2/3, 5/7, ... (OEIS A026741 和 A026741)。

V(2,n)=1-2/(n+1)sum_(k=1)^(n)1/k
(3)
=1-(2H_n)/(n+1),
(4)

其中 H_n 是調和數 (harmonic number) (Buchta 1984, 1986)，給出了前幾個值 0, 0, 1/12, 1/6, 43/180, 3/10, 197/560, 499/1260, ... (OEIS A093762 和 A093763)。

關於 V(3,n) 知之甚少，儘管

V(3,5)=5/2V(3,4)
(5)

(Buchta 1983, 1986) 並且

1-V(3,n)∼3/4((lnn)^2)/n
(6)

(Buchta 1986)。

此外，Buchta 和 Reitzner (2001) 給出了一個明確的公式，用於計算在三維單純形中隨機選取的 n 個點的凸包的期望體積，適用於任意 n。

另請參閱

圓盤三角形選取, 單純形, 四面體 四面體 選取

使用 探索

參考文獻

Buchta, C. "關於卵形區域中隨機點的凸包。" Elem. Math. 38, 153-156, 1983.Buchta, C. "凸多邊形中的隨機多邊形。" J. reine angew. Math. 347, 212-220, 1984.Buchta, C. "關於四面體中隨機多面體的體積的註釋。" Ill. J. Math. 30, 653-659, 1986.Buchta, C. and Reitzner, M. "什麼是從給定四面體中隨機選擇頂點的四面體的期望體積？" Anz. Österreich. Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl. 129, 63-68, 1992.Buchta, C. and Reitzner, M. "四面體中隨機點的凸包：Blaschke 問題的解法和更一般的結果。" J. reine angew. Math. 536, 1-29, 2001.Klee, V. "什麼是從給定凸體中隨機選擇頂點的單純形的期望體積？" Amer. Math. Monthly 76, 286-288, 1969.Sloane, N. J. A. 序列 A026741, A093762, 和 A093763 在 "整數序列線上百科全書" 中。

在 中被引用

單純形 單純形 選取

請引用為

Weisstein, Eric W. “單純形 單純形 選取。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/SimplexSimplexPicking.html

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