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圓內接三角形的選取

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TriangleInscribing

在一個單位圓的圓周上隨機選取三個點，並找出由這三個點確定的三角形面積的分佈。

不失一般性，第一個點可以被賦予座標 (1,0)。將從第一個點到第二個和第三個點的中心角分別稱為 theta_1 和 theta_2。由於對稱性，theta_1 的範圍可以限制在 [0,pi]，但 theta_2 的範圍可以是 [0,2pi)。然後

A(theta_1,theta_2)=2sin(1/2theta_1)sin(1/2theta_2)sin[1/2(theta_1-theta_2)],
(1)

因此

A^_=(int_0^piint_0^(2pi)|A|dtheta_2dtheta_1)/(int_0^piint_0^(2pi)dtheta_2dtheta_1)
(2)
=1/(2pi^2)int_0^piint_0^(2pi)|A|dtheta_2dtheta_1.
(3)

因此,

A^_=2/(2pi^2)int_0^piint_0^(2pi)|sin(1/2theta_1)sin(1/2theta_2)sin[1/2(theta_1-theta_2)]|dtheta_2dtheta_1
(4)
=1/(pi^2)int_0^pisin(1/2theta_1)[int_0^(2pi)sin(1/2theta_2)|sin[1/2(theta_2-theta_1)]|dtheta_2]dtheta_1
(5)
=1/(pi^2)int_0^(pi)int_0^(2pi); theta_2-theta_1>0sin(1/2theta_1)sin(1/2theta_2)sin[1/2(theta_1-theta_2)]dtheta_2dtheta_1+1/(pi^2)int_0^(pi)int_0^(2pi); theta_2-theta_1<0sin(1/2theta_1)sin(1/2theta_2)sin[1/2(theta_1-theta_2)]dtheta_2dtheta_1
(6)
=1/(pi^2)int_0^pisin(1/2theta_1)[int_(theta_1)^(2pi)sin(1/2theta_2)sin[1/2(theta_2-theta_1)]dtheta_2]dtheta_1+1/(pi^2)int_0^pisin(1/2theta_1)[int_0^(theta_1)sin(1/2theta_2)sin[1/2(theta_2-theta_1)]dtheta_2]dtheta_1.
(7)

但是

int(1/2theta_2)sin[1/2(theta_2-theta_1)]dtheta_2=intsin(1/2theta_2)[sin(1/2theta_2)cos(1/2theta_2)-sin(1/2theta_1)cos(1/2theta_2)]dtheta_2
(8)
=cos(1/2theta_1)intsin^2(1/2theta_2)dtheta_2-sin(1/2theta_1)intsin(1/2theta_1)cos(1/2theta_2)dtheta_2
(9)
=1/2cos(1/2theta_1)int(1-costheta_2)dtheta_2-1/2sin(1/2theta_2)intsintheta_2dtheta_2
(10)
=1/2cos(1/2theta_1)(theta_2-sintheta_2)+1/2sin(1/2theta_1)cos(theta_2).
(11)

將 (10) 寫成

A^_=1/(pi^2)[int_0^pisin(1/2theta_1)I_1dtheta_1+int_0^pisin(1/2theta_1)I_2dtheta_1],
(12)

那麼

I_1=int_(theta_1)^(2pi)sin(1/2theta_2)sin[1/2(theta_2-theta_1)]dtheta_2,
(13)

並且

I_2=int_0^(theta_1)sin(1/2theta_2)sin[1/2(theta_1-theta_2)]dtheta_2.
(14)

從 (12) 中，

I_1=1/2cos(1/2theta_2)[theta_2-sintheta_2]_(theta_1)^(2pi)+1/2sin(1/2theta_1)[costheta_2]_(theta_1)^(2pi)
(15)
=1/2cos(1/2theta_1)(2pi-theta_1+sintheta_1)+1/2sin(1/2theta_1)(1-costheta_1)
(16)
=picos(1/2theta_1)-1/2theta_1cos(1/2theta_1)+1/2[cos(1/2theta_1)sintheta_1-costheta_1sin(1/2theta_1)]+1/2sin(1/2theta_1)
(17)
=picos(1/2theta_1)-1/2theta_1cos(1/2theta_1)+1/2+1/2sin(theta_1-1/2theta_1)+1/2sin(1/2theta_1)
(18)
=picos(1/2theta_1)-1/2theta_1cos(1/2theta_1)+sin(1/2theta_1),
(19)

因此

int_0^piI_1sin(1/2theta_1)dtheta_1=5/4pi.
(20)

此外,

I_2=1/2cos(1/2theta_1)[sintheta_2-theta_2]_0^(theta_1)-1/2sin(1/2theta_1)[costheta_2]_0^(theta_1)
(21)
=1/2cos(1/2theta_2)(sintheta_1-theta_1)-1/2sin(1/2theta_1)(costheta_1-1)
(22)
=-1/2theta_1cos(1/2theta_1)+1/2[sintheta_1cos(1/2theta_1)-costheta_1sin(1/2theta_2)]+1/2sin(1/2theta_1)
(23)
=-1/2theta_1cos(1/2theta_1)+sin(1/2theta_1),
(24)

因此

int_0^piI_2sin(1/2theta_1)dtheta_1=1/4pi.
(25)

結合 (◇) 和 (◇) 得到平均三角形面積為

A^_=1/(pi^2)((5pi)/4+pi/4)=3/(2pi)=0.47746...
(26)

(OEIS A093582)。

前幾個矩是

mu_1^'=3/(2pi)
(27)
mu_2^'=3/8
(28)
mu_3^'=(35)/(32pi)
(29)
mu_4^'=(45)/(128)
(30)
mu_5^'=(3003)/(2560pi)
(31)
mu_6^'=(105)/(256)
(32)

(OEIS A093583 和 A093584 和 OEIS A093585 和 A093586)。

因此，方差由下式給出

sigma_A^2=<A>^2-<A^2>=(3(pi^2-6))/(8pi^2) approx 0.1470.
(33)

在圓的圓周上隨機選取的三個點確定的三角形內部包含原點的機率是 1/4。

另請參閱

圓線選取, 圓盤三角形選取, 直線選取, 球面點選取

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參考文獻

Sloane, N. J. A. “整數序列線上百科全書” 中的序列 A093582, A093583, A093584, A093585 和 A093586。

在 中被引用

圓內接三角形的選取

請引用為

Weisstein, Eric W. “圓內接三角形的選取。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CircleTrianglePicking.html

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