勾股定理

勾股定理指出，邊長為整數 的正方形的對角線 不可能是 有理數。假設 是有理數，且等於 ，其中 和 是沒有公因數的 整數。那麼

因此

且 , 所以 是偶數。但如果 是 偶數，那麼 也是 偶數。由於 被定義為最簡形式， 必須是 奇數；否則 和 將有公因數 2。由於 是 偶數，我們可以設 ，那麼 。因此，，且 ，所以 必須是 偶數。但 不能既是 偶數又是 奇數，所以不存在 和 使得 是 有理數，且 必須是 無理數。

特別是，勾股常數 是 無理數。Conway 和 Guy (1996) 給出了使用摺紙證明此事實的方法，以及使用 五邊形 和 六邊形 證明 ( 黃金比例) 和 的類似證明。Wiedijk (2006) 給出了 17 個 無理性的計算機證明的集合。