代數拓撲

代數拓撲是研究空間物件（例如，曲面、球體、環面、圓、結、鏈環、構型空間等）的內在定性方面的學科，這些方面在雙向連續的一對一（同胚）變換下保持不變。代數拓撲學科通常被稱為“橡皮膜幾何”，也可以被視為不連通性的研究。代數拓撲擁有大量的數學工具來研究不同型別的洞結構，並且它之所以帶有“代數”字首，是因為許多洞結構最好用代數物件（如群和環）來表示。

代數拓撲起源於組合拓撲，但在 20 世紀 30 年代切赫上同調被髮展出來時，可能首次超越了組合拓撲。

一種技術性的說法是，代數拓撲關注的是從拓撲範疇到群和同態的函子。在這裡，函子是一種過濾器，給定一個“輸入”空間，它們會返回其他東西。返回的物件（通常是群或環）然後是空間洞結構的表示，從某種意義上說，這個代數物件是原始空間樣子的遺蹟（即，很多資訊丟失了，但保留了空間某種“陰影”——剛好足以理解其洞結構的某些方面，但僅此而已）。想法是函子給出了更簡單的物件來處理。因為空間本身非常複雜，如果不關注特定方面，就無法管理。