交換圖

交換圖是一個對映的集合 ，其中所有從同一集合 開始並以同一集合 結束的對映組合都給出相同的結果。用符號表示，這意味著，每當可以形成兩個序列

(1)

和

(2)

以下等式成立

(3)

交換圖通常由交換三角形和交換正方形組成。

交換三角形和正方形也可以組合形成平面圖形或空間排列。

一個交換圖也可以包含多個箭頭，這些箭頭表示同一兩個集合之間不同的對映。

環狀箭頭表示從一個集合到自身的對映。

上面的交換圖表達了 是 的逆對映的事實，因為它是一個對映等式 和 的圖形化翻譯。

這也可以用兩個單獨的圖來表示。

許多其他數學概念和性質，尤其是在代數拓撲、同調代數和範疇論中，可以用交換圖來表示。

例如，一個模 是射影模 當且僅當 任何滿射模同態 和任何模同態 都可以被完成為一個交換圖。

類似地，可以表徵內射模的對偶概念：一個模 是內射模 當且僅當 任何內射模同態 和 和任何模同態 都可以被完成為一個交換三角形。

根據貝爾判據，對於 的理想到 的包含對映 ，只需要這個條件就足夠了。

另一個基於圖的概念的例子是鏈同態，它可以被視覺化為一系列交換正方形。

繪製交換圖的優點是可以一目瞭然地掌握任何給定的對映配置。該圖還有助於組合對映的任務，這就像沿著從一個集合到另一個集合的有向路徑。許多同調定理是透過研究交換圖來證明的：這種方法通常被稱為“追逐圖表”。