理髮師問題是指將剖分等邊三角形為正方形的問題的名稱。Demaine等人。(2024) 總結了這個問題 history。杜德尼在他 1902 年 4 月 6 日的專欄中提出了這個問題，但沒有明確表明是否已知解決方案。在他專欄的下一期（1902 年 4 月 20 日），杜德尼給出了一個五片解法，同時指出曼徹斯特的 C. W. McElroy 找到了一個四片解法。
在接下來的專欄（1902 年 5 月 4 日）中，杜德尼展示了上面圖示的四片解法，但沒有明確指出這種剖分是杜德尼還是 McElroy 的成果（Frederickson 1997, Frederickson 2002, Demaine等人。2024）。這個謎題和解決方案後來以“理髮師謎題”的名稱出現在杜德尼 (1908) 的著作中。
如上圖所示標記剖分（Amplify Education）。然後三角形 
的頂點對應於正方形中的一個點 
。另一方面，三角形中的點 
和 
各自分叉成兩個獨立的點，分別對應於正方形的不同頂點。在圖中，
且 
，（因此 
和 
分別平分 
和 
），
，且 
。此外，由於點 
和 
成為正方形的頂點，因此角 
、
、
和 
都是直角。
設正方形具有單位邊長和麵積，則有四個不同的邊長，按從小到大排列為
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(1)
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(2)
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(3)
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(4)
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這些邊長分別對應於一條直角邊長為 
，斜邊長為 
的等腰直角三角形；一條邊長為 
和 
的菱形；以及兩個映象四邊形，它們的邊長為 
、
、
、
，包含一個直角。這種四邊形可以稱為“理髮師四邊形”。
令人驚奇的是，這種剖分不僅允許將等邊三角形僅用三刀剖分為正方形，而且所得的四個部分可以鉸接，以便它們可以摺疊成等邊三角形或正方形（Gardner 1961, p. 34; Stewart 1987, p. 169; Wells 1991, pp. 61-62）。
Demaine等人。(2024) 證明了等邊三角形和正方形沒有少於三個多邊形塊的公共剖分，從而確定了杜德尼的剖分是最優的。
