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調和引數

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多面體的調和引數是從固定內部點到各個面的距離 d_i 的加權平均值，其中權重是各個面的面積 A_i，即：

h=(sum_(i=1)^(n)A_id_i)/(sum_(i=1)^(n)A_i).
(1)

此引數推廣了以下恆等式

(dV)/(dr)=S,
(2)

其中 V 是體積，r 是內半徑，S 是表面積，這僅對對稱實體有效，推廣到

(dV)/(dh)=S.
(3)

調和引數與內部點的選擇無關 (Fjelstad 和 Ginchev 2003)。此外，它不僅可以為多面體定義，還可以為任何具有 n 維實體定義，這些實體具有 n 維內容 V 和 (n-1) 維內容 S。

用 h 表示薄片的面積 A 和周長 p，得到以下恆等式

(dA)/(dh)=p.
(4)

下表總結了一些常見薄片的調和引數。其中，r 是給定薄片的內半徑，a 和 b 是矩形的邊長。

薄片h
圓r
矩形(ab)/(a+b)
正方形r
三角形r

然後用 h 表示實體的 V 和 S，得到以下恆等式

h=(3V)/S.
(5)

下表總結了一些常見固體的調和引數，其中一些更復雜的值由多項式根給出

h_1=(256x^8-64512x^7-4257024x^6+34098944x^5+167319904x^4-806004288x^3-327993296x^2+816428176x+373301041)_6 h_2=(31622400x^8-6045062400x^7+65176660800x^6-187266038400x^5+85961856960x^4+136958389920x^3+42447187200x^2+5102095680x+214358881)_5 h_3=(3603193611264x^(12)-38078720649216x^(10)+49184509540608x^8-3562375387968x^6+308526620112x^4-3065029992x^2+38950081)_3
(6)

h_4 是高階多項式的根，以及

h_5=1/(1202)[1/(10)(121461425+53168861sqrt(5)-4sqrt(30(28343974350325+12675597513679sqrt(5)))]^(1/2).
(7)
固體h
圓錐(hr)/(sqrt(h^2+r^2))
立方體1/2
cuboctahedron5/2sqrt(1/3(2-sqrt(3)))
長方體(3abc)/(2(ab+ac+bc))
十二面體1/2sqrt(1/(10)(25+11sqrt(5)))
great rhombicosidodecahedronh_1
great rhombicuboctahedron1/2(4+3sqrt(2)-sqrt(3)-sqrt(6))
二十面體1/2sqrt(1/6(7+3sqrt(5)))
icosidodecahedron1/4sqrt(1/(15)(895+351sqrt(5)-sqrt(722550+319170sqrt(5))))
八面體1/6sqrt(6)
small rhombicosidodecahedronh_2
small rhombicuboctahedron1/(78)(54+45sqrt(2)-sqrt(6(43+30sqrt(2))))
扭稜立方體h_3
扭稜十二面體h_4
球體r
四面體1/(12)sqrt(6)
截角立方體7/(438)(30+42sqrt(2)-sqrt(3(89-36sqrt(2))))
截角十二面體1/(1202)sqrt(1/6(34843243+14808969sqrt(5)-4sqrt(6(39083776745+368687263429sqrt(5)))))
截角二十面體h_5
截角八面體4/(11)sqrt(2(13-4sqrt(3)))
截角四面體(23)/(84)sqrt(6)

另請參閱

表面積, 體積

使用 探索

參考文獻

Fjelstad, P. 和 Ginchev, I. "Volume, Surface Area, and the Harmonic Mean." Math. Mag. 76, 126-129, 2003.

在 中被引用

調和引數

請引用為

Weisstein, Eric W. "調和引數." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HarmonicParameter.html

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