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截角十二面體

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TruncatedDodecahedronSolidWireframeNet

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截角十二面體是具有 32 個面的 阿基米德立體，其面為 20{3}+12{10}。它也是 均勻多面體，Maeder 索引為 26 (Maeder 1997)，Wenninger 索引為 10 (Wenninger 1989)，Coxeter 索引為 29 (Coxeter et al. 1954)，Har'El 索引為 31 (Har'El 1993)。它具有 施萊夫利符號 t{5,3} 和 威佐夫符號 23|5。上面展示了它的圖形，以及線框版本和一個可用於構建它的 網格。

TruncatedDodProjections

上面展示了截角十二面體的一些對稱投影。

它在 Wolfram 語言 中實現為UniformPolyhedron["TruncatedDodecahedron"] 或PolyhedronData["TruncatedDodecahedron"].

TruncatedDodecahedronConvexHulls

截角十二面體是 凸包，由 大雙三角十二面二十面體、大十二面二十面體 和 大二十面二十面體 均勻多面體 構成。

TruncatedDodecConst

要透過 截角 構造截角十二面體，請注意我們希望截角五邊形的 內切圓半徑 r_(10) 與原始五邊形的內切圓半徑 r_5 相對應，單位邊長為 s_5=1。這意味著截角十二面體中十邊形面的邊長 s_(10) 滿足

1/2s_5cot(pi/5)=1/2s_(10)cot(pi/(10)),
(1)

給出

s_(10)=1/5sqrt(5)s_5=1/5sqrt(5).
(2)

因此，切掉的角的長度由下式給出

l=1/2-1/2s_(10)=1/(10)(5-sqrt(5)).
(3)
TruncatedDodecahedronAndDual

截角十二面體的 對偶多面體 是 三akis二十面體，兩者都與它們的公共 中球 一起在上面展示。對於 a=1，對偶的 內切圓半徑 r、實體和對偶的 中半徑 rho 以及實體的 外接圓半徑 R 為

r=5/2sqrt(1/(61)(41+18sqrt(5))) approx 2.88526
(4)
rho=1/4(5+3sqrt(5)) approx 2.92705
(5)
R=1/4sqrt(74+30sqrt(5)) approx 2.96945.
(6)

從實體中心到三角形和十邊形面質心的距離由下式給出

r_3=1/(12)sqrt(3)(9+5sqrt(5))
(7)
r_(10)=1/2sqrt(1/2(25+11sqrt(5))).
(8)

表面積 和 體積 為

S=5(sqrt(3)+6sqrt(5+2sqrt(5)))
(9)
V=5/(12)(99+47sqrt(5)).
(10)

單位截角十二面體的 Dehn 不變數 為

D=-60<3>_5
(11)
=-30csc^(-1)(3/(sqrt(5)))
(12)
=-25.23206...
(13)

(OEIS A377698)，其中第一個表示式使用 Conway et al. (1999) 的基。

參見

阿基米德立體、等邊帶狀多面體、六十面體、三akis二十面體、截角十二面體-三akis二十面體複合體、截角

使用 探索

參考文獻

Conway, J. H.; Radin, C.; and Sadun, L. "On Angles Whose Squared Trigonometric Functions Are Rational." Discr. Computat. Geom. 22, 321-332, 1999.Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; and Miller, J. C. P. "Uniform Polyhedra." Phil. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 246, 401-450, 1954.Cundy, H. and Rollett, A. "Truncated Dodecahedron. 3.10^2." §3.7.9 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 109, 1989.Geometry Technologies. "Truncated Dodecahedron." http://www.scienceu.com/geometry/facts/solids/tr_dodeca.html.Har'El, Z. "Uniform Solution for Uniform Polyhedra." Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993.Kasahara, K. "The Final Semiregular Polyhedron." Origami Omnibus: Paper-Folding for Everyone. Tokyo: Japan Publications, p. 229, 1988.Maeder, R. E. "26: Truncated Dodecahedron." 1997. https://www.mathconsult.ch/static/unipoly/26.html.Sloane, N. J. A. Sequence A377698 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wenninger, M. J. "The Truncated Dodecahedron." Model 10 in Polyhedron Models. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 24, 1989.

請引用為

Weisstein, Eric W. “截角十二面體。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/TruncatedDodecahedron.html

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