空間填充多面體

空間填充多面體是一種可以用來生成空間密鋪的多面體。儘管亞里士多德本人在他的著作《論天》中宣稱四面體可以填充空間，但事實並非如此。上面展示了一些空間填充多面體。

具有德恩不變數 0 是多面體成為空間填充體的必要但不充分條件。

立方體是唯一具有此屬性的柏拉圖立體（Gardner 1984，第 183-184 頁）。然而，四面體和八面體的組合確實可以填充空間（Steinhaus 1999，第 210 頁；Wells 1991，第 232 頁）。此外，八面體、截角八面體和立方體以 1:1:3 的比例組合也可以填充空間（Wells 1991，第 235 頁）。1914 年，Föppl 發現了一種由四面體和截角四面體組成的空間填充複合體（Wells 1991，第 234 頁）。

只有五種具有正多邊形面的空間填充凸多面體：三角稜柱、六角稜柱、立方體、截角八面體（Steinhaus 1999，第 185-190 頁；Wells 1991，第 233-234 頁）和 Gyrobifastigium (Johnson 2000)。菱形十二面體（Steinhaus 1999，第 185-190 頁；Wells 1991，第 233-234 頁）和伸長十二面體，以及出現在球體堆積中的梯形菱形十二面體也是空間填充體（Steinhaus 1999，第 203-207 頁），任何非自相交的四邊形稜柱也是如此。立方體、六角稜柱、菱形十二面體、伸長十二面體和截角八面體都是“初級”平行多面體（Coxeter 1973，第 29 頁）。

空間等面體是一種凸多面體，它是等面空間填充的，這意味著空間等面體副本的密鋪的對稱性可以將任何副本帶到任何其他副本。近似等面體是一種空間填充多面體，它具有特殊的對稱性，可以將空間填充蜂巢中的近似等面體的任何副本帶到任何其他副本。

在 1974-1980 年期間，Michael Goldberg 試圖詳盡地編目空間填充多面體。根據 Goldberg 的說法，有 27 種不同的空間填充六面體，涵蓋了除五角錐之外的所有 7 種六面體。在 34 種七面體中，有 16 種是空間填充體，它們至少可以以 56 種不同的方式填充空間。八面體至少可以以 49 種不同的方式填充空間。在 1980 年之前的論文中，有 40 種 11-面體、16 種十二面體、4 種 13-面體、8 種 14-面體、沒有 15-面體、一種最初由 Föppl 發現的 16-面體（Grünbaum 和 Shephard 1980；Wells 1991，第 234 頁）、兩種 17-面體、一種 18-面體、六種二十面體、兩種 21-面體、五種 22-面體、兩種 23-面體、一種 24-面體以及一種被認為是最大的 26-面體。1980 年，P. Engel（Wells 1991，第 234-235 頁）隨後發現了總共 172 種具有 17 到 38 個面的更多空間填充體，並且隨後發現了更多的空間填充體。P. Schmitt 在 1990 年左右發現了一種非凸非週期多面體空間填充物，而 J. H. Conway 在 1993 年發現了一種稱為Schmitt-Conway 雙稜柱的凸多面體，它僅以非週期性方式填充空間（Eppstein）。

Schmitt（2016）透過研究四方晶系群，三方晶系群，六方晶系群和立方晶系群可以生成哪些 Dirichlet-Voronoi 空間等面體，給出了空間填充多面體的總結。