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Chmutov 曲面

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一個代數曲面，具有仿射方程

P_d(x_1,x_2)+T_d(x_3)=0,
(1)

其中 T_d(x) 是第一類切比雪夫多項式，P_d(x_1,x_2) 是由下式定義的多項式

P_d(x_1,x_2)=|x_1 1 0 ... 0 0 0; 2x_2 x_1 1 ... 0 0 0; 3 x_2 x_1 ... ... ... |; 0 1 x_2 ... 1 0 0; 0 0 1 ... x_1 1 0; | ... ... ... x_2 x_1 1; 0 0 0 ... 1 x_2 x_1|+|x_2 1 0 ... 0 0 0; 2x_1 x_2 1 ... 0 0 0; 3 x_1 x_2 ... ... ... |; 0 1 x_1 ... 1 0 0; 0 0 1 ... x_2 1 0; | ... ... ... x_1 x_2 1; 0 0 0 ... 1 x_1 x_2|,
(2)

其中矩陣的維度為 d×d。這些表示 CP^3 中的曲面，其奇點僅為普通二重點。前幾個曲面由下式給出

x+y+z=0
(3)
x^2+y^2+2z^2=1+2x+2y
(4)
6+x^3+y^3+4z^3=3(2xy+z).
(5)

階數為 d 的此類曲面具有

N(d)={1/(12)(5d^3-13d^2+12d) if d=0 (mod 6); 1/(12)(5d^3-13d^2+16d-8) if d=2,4 (mod 6); 1/(12)(5d^3-14d^2+13d-4) if d=1,5 (mod 6); 1/(12)(5d^3-14d^2+9d) if d=3 (mod 6)
(6)

個奇點 (Chmutov 1992)，給出序列 0, 1, 3, 14, 28, 57, 93, 154, 216, 321, 425, 576, 732, 949, 1155, ... (OEIS A057870)，對於 d=1, 2, .... 對於許多階數 d，Chmutov 曲面比任何其他已知同 degree 方程具有更多的普通二重點。

Chmutov surfaces of order 4, 6, and 10
CmutovSurface

基於 Chmutov 的方程，Banchoff (1991) 定義了更簡單的一組曲面

T_n(x)+T_n(y)+T_n(z)=0,
(7)

其中 n 是偶數，T_n(x) 再次是第一類切比雪夫多項式。例如，上面所示的曲面階數為 2、4 和 6，由以下方程給出

2(x^2+y^2+z^2)=3
(8)
3+8(x^4+y^4+z^4)=8(x^2+y^2+z^2)
(9)
2[x^2(3-4x^2)^2+y^2(3-4y^2)^2+z^2(3-4z^2)^2]=3.
(10)

另請參閱

Goursat 曲面, 普通二重點, 超橢圓, Tanglecube

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參考文獻

Banchoff, T. F. "Computer Graphics Tools for Rendering Algebraic Surfaces and for Geometry of Order." 在 Geometric Analysis and Computer Graphics: Proceedings of a Workshop Held May 23-25, 1988 (編 P. Concus, R. Finn, and D. A. Hoffman). New York: Springer-Verlag, 頁 31-37, 1991.Chmutov, S. V. "Examples of Projective Surfaces with Many Singularities." J. Algebraic Geom. 1, 191-196, 1992.Hirzebruch, F. "Singularities of Algebraic Surfaces and Characteristic Numbers." 在 The Lefschetz Centennial Conference, Part I: Proceedings of the Conference on Algebraic Geometry, Algebraic Topology, and Differential Equations, Held in Mexico City, December 10-14, 1984 (編 S. Sundararaman). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 頁 141-155, 1986.Sloane, N. J. A. 序列 A057870，來自 “整數序列線上大全”。Trott, M. Graphica 1: The World of Mathematica Graphics. The Imaginary Made Real: The Images of Michael Trott. Champaign, IL: Wolfram Media, 頁 3 和 82, 1999.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Graphics. New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

請引用為

Weisstein, Eric W. “Chmutov 曲面。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ChmutovSurface.html

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