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球狀體

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OblateSpheroid
ProlateSpheroid

球狀體是一種橢球體，它具有兩個相等長度的軸，使其成為旋轉曲面。按照慣例，兩個不同的軸長分別表示為 a 和 c，球狀體的方向被設定為使其旋轉對稱軸沿 z-軸，從而得到引數表示

x=asinvcosu
(1)
y=asinvsinu
(2)
z=ccosv,
(3)

其中 u in [0,2pi)，以及 v in [0,pi]。

球狀體的笛卡爾方程為

(x^2+y^2)/(a^2)+(z^2)/(c^2)=1.
(4)

如果 a>c，則該球狀體稱為扁球狀（左圖）。如果 a<c，則該球狀體是長球狀（右圖）。如果 a=c，則該球狀體退化為球體。

在上述引數化中，第一基本形式的係數為

E=a^2sin^2v
(5)
F=0
(6)
G=1/2[a^2+c^2+(a^2-c^2)cos(2v)],
(7)

第二基本形式的係數為

e=(sqrt(2)acsin^2v)/(sqrt([a^2+c^2+(a^2-c^2)cos(2v)]))
(8)
f=0
(9)
g=(sqrt(2)ac)/(sqrt([a^2+c^2+(a^2-c^2)cos(2v)])).
(10)

高斯曲率由下式給出

K(u,v)=(4c^2)/([a^2+c^2+(a^2-c^2)cos(2v)]^2),
(11)

隱式高斯曲率由下式給出

K(x,y,z)=(c^6)/([c^4+(a^2-c^2)z^2]^2),
(12)

平均曲率由下式給出

H(u,v)=(c[3a^2+c^2+(a^2-c^2)cos(2v)])/(sqrt(2)a[a^2+c^2+(a^2-c^2)cos(2v)]^(3/2)).
(13)

球狀體的表面積可以多種方式表示為

S=2pia^2+(pic^2)/(e_1)ln((1+e_1)/(1-e_1))
(14)
=2pia^2+(2piac)/(e_2)sin^(-1)e_2
(15)
=2pi(a^2+(c^2)/(e_1)tanh^(-1)e_1)
(16)
=2pi[a^2+c^2_2F_1(1/2,1;3/2;1-(c^2)/(a^2))],
(17)

其中

e_1=sqrt(1-(c^2)/(a^2))
(18)
e_2=sqrt(1-(a^2)/(c^2))
(19)

以及 _2F_1(a,b;c;z) 是一個超幾何函式。

球狀體的體積可以從一般橢球體的公式計算得出，其中 b=a，

V=int_(-csqrt(1-(x^2+y^2)/a^2))^(csqrt(1-(x^2+y^2)/a^2))int_(-sqrt(a^2-x^2))^(sqrt(a^2-x^2))int_(-a)^adxdydz
(20)
=4/3pia^2c
(21)

(Beyer 1987, p. 131)。

一個球狀體的慣性張量，其 z-軸沿對稱軸，由下式給出

I=[1/5M(a^2+c^2) 0 0; 0 1/5M(a^2+c^2) 0; 0 0 2/5Ma^2].
(22)

另請參閱

達爾文-德西特球狀體, 橢球體, 緯度, 經度, 北極, 扁球狀體, 長球狀體, 南極, 球體

使用 探索

參考文獻

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 1987.

請引用為

Weisstein, Eric W. "Spheroid." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Spheroid.html

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