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星形線

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一個四尖的內擺線，有時也被稱為四尖瓣線、立方擺線或副圓。星形線的引數方程可以透過將 n=a/b=4 或 4/3 代入一般內擺線的方程得到，從而得到引數方程

x=3bcost+bcos(3t)
(1)
=4bcos^3t
(2)
=acos^3t
(3)
y=3bsint-bsin(3t)
(4)
=4bsin^3t
(5)
=asin^3t
(6)

對於 0<=phi<=2pi。

可以透過計算得到極座標方程

theta=tan^(-1)(y/x)=tan^(-1)(tan^3t),
(7)

並代入 r=sqrt(x^2+y^2) 得到

r=(|sectheta|)/((1+tan^(2/3)theta)^(3/2))
(8)

對於 0<=theta<=2pi。

AstroidSquashed

在笛卡爾座標系中，

x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3).
(9)

將曲線推廣到

(x/a)^(2/3)+(y/b)^(2/3)=1
(10)

得到“擠壓”的星形線，這是超橢圓的一個特例，對應於引數 r=2/3。

在以中心為垂足點的垂足座標系中，方程為

r^2+3p^2=a^2,
(11)

和塞薩羅方程為

rho^2+4s^2=6as.
(12)

進一步推廣到以下形式的方程

|x/a|^r+|y/b|^r=1,
(13)

被稱為超橢圓。

弧長、曲率和切線角為

s(t)=3/2sin^2t
(14)
kappa(t)=-2/3|csc(2t)|
(15)
phi(t)=-t,
(16)

其中 s(t) 的公式對於 0<t<pi/2 成立。

整個星形線的周長可以從一般的內擺線公式計算得出

s_n=(8a(n-1))/n
(17)

其中 n=4，

s=6a.
(18)

對於擠壓的星形線，周長的長度為

s=(4(a^2+ab+b^2))/(a+b).
(19)
AstroidArea

面積由下式給出

A_n=((n-1)(n-2))/(n^2)pia^2
(20)

其中 n=4，

A=3/8pia^2
(21)
approx 1.178097a^2
(22)

(OEIS A093828)。

橢圓的漸屈線是拉伸的內擺線。從引數為 p 的點出發，切線 T 的梯度為 -tanp。這條切線 T 的方程是

xsinp+ycosp=1/2asin(2p)
(23)

(MacTutor Archive)。令 T 與 x軸 和 y軸 分別交於 X 和 Y。那麼長度 XY 是一個常數，等於 a。

AstroidLadders
AstroidLines

當一條線段的每個端點都在一對垂直軸上移動時，星形線也可以形成為產生的包絡（例如，它是由梯子靠在牆上滑動，或者車庫門頂角沿著垂直軌道移動時所包圍的曲線；上圖左圖）。因此，星形線是一種滑線。要看到這一點，請注意，對於長度為 L 的梯子，與牆和地板的接觸點分別為 (x_0,0) 和 (0,sqrt(L^2-x_0^2))。因此，梯子腳位於 (x_0,0) 處的直線方程為

y-0=(sqrt(L^2-x_0^2))/(-x_0)(x-x_0),
(24)

可以寫成

U(x,y,x_0)=y+(sqrt(L^2-x_0^2))/(x_0)(x-x_0).
(25)

包絡的方程由以下聯立方程的解給出

{U(x,y,x_0)=y+(sqrt(L^2-x_0^2))/(x_0)(x-x_0)=0; (partialU)/(partialx_0)=(x_0^3-L^2x)/(x_0^2sqrt(L^2-x_0^2))=0,
(26)

即

x=(x_0^3)/(L^2)
(27)
y=((L^2-x_0^2)^(3/2))/(L^2).
(28)

注意到

x^(2/3)=(x_0^2)/(L^(4/3))
(29)
y^(2/3)=(L^2-x_0^2)/(L^(4/3))
(30)

允許將其隱式地寫成

x^(2/3)+y^(2/3)=L^(2/3),
(31)

即星形線的方程，正如所承諾的那樣。

AstroidLaddersExtended

當長度為 L 的“車庫門”在長度為 DeltaL 的“延伸”上下移動的開槽軌道時，也會得到一個令人驚訝的答案。在這種情況下，門腳在水平位置 x_0 且角度為 theta 時，“延伸”端的座標由下式給出

x=-DeltaLcostheta
(32)
y=sqrt(L^2-x_0^2)+DeltaLsintheta.
(33)

使用

x_0=Lcostheta
(34)

得到

x=-(DeltaL)/Lx_0
(35)
y=sqrt(L^2-x_0^2)(1+(DeltaL)/L).
(36)

求解 (◇) 中的 x_0，代入 (◇) 並平方後得到

y^2=L^2-(L^2x^2)/((DeltaL)^2)(1+(DeltaL)/L)^2.
(37)

重新排列得到方程

(x^2)/((DeltaL)^2)+(y^2)/((L+DeltaL)^2)=1,
(38)

（象限的）橢圓的方程，其半長軸和半短軸的長度分別為 deltal 和 l+deltal。

AstroidEllipses

星形線也是橢圓族的包絡

(x^2)/(c^2)+(y^2)/((1-c)^2)-1=0,
(39)

如上所示 (Wells 1991)。

AstroidByTangents

星形線的一個有吸引力的排列可以構造為一組與圓弧相切的切線 (Trott 2004, pp. 18-19)。

另請參閱

星形橢球、三角線、橢圓包絡、雙曲八面體、拉梅曲線、腎臟線、毛茛線、超橢圓

使用 探索

參考文獻

Beyer, W. H. CRC 標準數學表，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 219, 1987.Lawrence, J. D. 特殊平面曲線目錄。 New York: Dover, pp. 172-175, 1972.Lockwood, E. H. "星形線。" Ch. 6 in 曲線之書。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 52-61, 1967.MacTutor 數學史檔案。“星形線。” http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Astroid.html.Sloane, N. J. A. 序列 A093828 在“整數序列線上百科全書”中。Steinhaus, H. 數學快照，第 3 版。 New York: Dover, pp. 146-147, 1999.Trott, M. Graphica 1：Mathematica 圖形世界。將虛構變為現實：Michael Trott 的影像。 Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 11 和 83, 1999.Trott, M. Mathematica 圖形指南。 New York: Springer-Verlag, p. 19, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Wells, D. 企鵝好奇和有趣的幾何詞典。 London: Penguin, pp. 10-11, 1991.Yates, R. C. "星形線。" 曲線及其性質手冊。 Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 1-3, 1952.

引用為

Weisstein, Eric W. “星形線。” 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/Astroid.html

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